Explique a diferença entre uma reta contida em um plano e uma reta paralela ao plano.
Passo 1
O enunciado pede para distinguir geometricamente e algebricamente dois casos de posição relativa entre uma reta e um plano em
. O conteúdo envolve equação de plano, equação paramétrica de reta, produto escalar e condição de ortogonalidade entre vetor diretor da reta e vetor normal do plano.
Passo 2
Definição de reta contida num plano: seja o plano
e a reta
com
e vetor diretor
.
Para que toda a reta esteja em , dois requisitos devem valer simultaneamente:
Para que toda a reta esteja em
- O ponto inicial pertence ao plano:
- O vetor diretor é paralelo ao plano, ou seja, ortogonal ao vetor normal
:
Se ambos se verificam, qualquer ponto
satisfaz a equação de
, logo
.
Passo 3
Definição de reta paralela ao plano: novamente consideramos
e
como acima.
Para que seja paralela a
(ou seja, nunca o intersecte), basta que o vetor diretor seja paralelo ao plano, mas a reta não tenha nenhum ponto em comum com ele. Assim:
1.
Para que
1.
garante que
e
não se cruzem em inclinações distintas.
2.
2.
assegura que o ponto inicial não pertence a
, logo nenhum outro ponto da reta satisfará a equação do plano.
Passo 4
Interpretação geométrica:
- Quando a reta está contida no plano, ela “vive” dentro dele e tem infinitos pontos de interseção (toda a reta).
- Quando é paralela, ela segue uma direção que não penetra o plano, de modo que não há ponto em comum.
Resposta
Uma reta está contida em um plano se e somente se seu ponto inicial satisfaz a equação do plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano (ou seja,
e
).
Já uma reta é paralela ao plano quando compartilha a mesma condição de direção ( ) mas não tem ponto em comum com ele (
).
Já uma reta é paralela ao plano quando compartilha a mesma condição de direção (