Explique a diferença entre uma reta contida em um plano e uma reta paralela ao plano.

Passo 1

O enunciado pede para distinguir geometricamente e algebricamente dois casos de posição relativa entre uma reta e um plano em R^3. O conteúdo envolve equação de plano, equação paramétrica de reta, produto escalar e condição de ortogonalidade entre vetor diretor da reta e vetor normal do plano.

Passo 2

Definição de reta contida num plano: seja o plano
pi: a x + b y + c z + d = 0
e a reta
ell: r(t) = r0 + t,v, tinR,
com r0=(x0,y0,z0) e vetor diretor v=(vx,vy,vz).
Para que toda a reta esteja em pi, dois requisitos devem valer simultaneamente:
  1. O ponto inicial pertence ao plano:
a,x0 + b,y0 + c,z0 + d = 0
  1. O vetor diretor é paralelo ao plano, ou seja, ortogonal ao vetor normal n=(a,b,c):
ncdotv = a,vx + b,vy + c,vz = 0
Se ambos se verificam, qualquer ponto r(t) satisfaz a equação de pi, logo ellsubsetpi.

Passo 3

Definição de reta paralela ao plano: novamente consideramos pi e ell como acima.
Para que ell seja paralela a pi (ou seja, nunca o intersecte), basta que o vetor diretor seja paralelo ao plano, mas a reta não tenha nenhum ponto em comum com ele. Assim:
1.
ncdotv = a,vx + b,vy + c,vz = 0
garante que ell e pi não se cruzem em inclinações distintas.
2.
a,x0 + b,y0 + c,z0 + d neq 0
assegura que o ponto inicial não pertence a pi, logo nenhum outro ponto da reta satisfará a equação do plano.

Passo 4

Interpretação geométrica:
  • Quando a reta está contida no plano, ela “vive” dentro dele e tem infinitos pontos de interseção (toda a reta).
  • Quando é paralela, ela segue uma direção que não penetra o plano, de modo que não há ponto em comum.

Resposta

Uma reta está contida em um plano se e somente se seu ponto inicial satisfaz a equação do plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano (ou seja, ncdotv=0 e a x0+b y0+c z0+d=0).
Já uma reta é paralela ao plano quando compartilha a mesma condição de direção ( ncdotv=0) mas não tem ponto em comum com ele ( a x0+b y0+c z0+dneq0).

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