1.27 As superfícies r=2 e 4, \theta=30^{\circ} e 50^{\circ} e \varphi=20^{\circ} e 60^{\circ} limitam uma superfície fechada. (a) Determine o volume contido. (b) Determine a área total da superfície limite. (c) Determine o comprimento total das doze bordas da superfície. (d) Determine o comprimento da maior linha reta que está contida inteiramente dentro do volume.

Passo 1

O enunciado fornece as superfícies limites (em coordenadas esféricas) e pede quatro quantidades. Vou listar cuidadosamente o que está dado e o que se deve encontrar.
  • Dados (peguei exatamente do enunciado):
    \;r=2 e \;r=4.
    \;\theta=30^\circ e \;\theta=50^\circ.
    \;\varphi=20^\circ e \;\varphi=60^\circ.
  • Perguntas:
    (a) Determine o volume contido pela região limitada por essas seis superfícies.
    (b) Determine a área total da superfície limite (a soma das áreas das seis faces).
    (c) Determine o comprimento total das doze arestas (bordas) dessa superfície fechada.
    (d) Determine o comprimento da maior linha reta que está inteiramente dentro do volume.

Passo 2

Convenção de coordenadas e método (muito importante). Vou usar a convenção usual de cálculo em que as coordenadas esféricas são (r,\theta,\varphi) com:
  • \;r = distância ao origem (raio), \;r\ge 0.
  • \;\theta = ângulo azimutal no plano xy (medido no intervalo 0\le\theta<2\pi), aqui \theta vai de 30^\circ a 50^\circ.
  • \;\varphi = ângulo polar medido a partir do eixo z ( 0\le\varphi\le\pi ), aqui \varphi vai de 20^\circ a 60^\circ.
Justificativa: com esses limites (pequenos intervalos em \theta e \varphi) faz sentido interpretar \theta como azimute e \varphi como polar; nessa convenção a diferencial de volume e os elementos de área têm formas padrão que vou usar:
  • Diferencial de volume:
dV = r^{2}\sin\varphi \; dr\; d\varphi\; d\theta.
Explicação rápida do que é cada termo: r^{2} aparece pela medida radial (volume cresce como r^{2}), \sin\varphi corrige a densidade angular ao medir “fatias” em \varphi, e dr\,d\varphi\,d\theta são os incrementos nas três coordenadas.
  • Elementos de área sobre superfícies coordenadas (vou explicar e derivar quando usar):
    • Para superfície r= constante: dA = r^{2}\sin\varphi \; d\varphi\; d\theta.
    • Para superfície \theta= constante: dA = r\; dr\; d\varphi.
    • Para superfície \varphi= constante: dA = r\sin\varphi\; dr\; d\theta.
Vou aplicar essas fórmulas e explicar cada passo de cálculo.

Passo 3

(a) Volume: montar o integral triplo e calcular passo a passo.
  • A região é descrita por
2\le r\le 4,\qquad 30^\circ\le\theta\le 50^\circ,\qquad 20^\circ\le\varphi\le 60^\circ.
  • Escrevemos o volume como integral:
V=\int_{\theta=30^\circ}^{50^\circ}\int_{\varphi=20^\circ}^{60^\circ}\int_{r=2}^{4} r^{2}\sin\varphi\; dr\; d\varphi\; d\theta.
  • Integramos em r primeiro:
\int_{2}^{4} r^{2}\; dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2}^{4}=\frac{4^{3}-2^{3}}{3}=\frac{64-8}{3}=\frac{56}{3}.
  • Agora a integral torna-se
V=\frac{56}{3}\int_{\theta=30^\circ}^{50^\circ}\int_{\varphi=20^\circ}^{60^\circ}\sin\varphi\; d\varphi\; d\theta.
  • Integramos em \varphi:
\int_{20^\circ}^{60^\circ}\sin\varphi\; d\varphi = [-\cos\varphi]_{20^\circ}^{60^\circ} = -\cos60^\circ + \cos20^\circ = \cos20^\circ - \tfrac12.
(Usei \cos60^\circ=\tfrac12.)
  • Integramos em \theta; o comprimento angular em \theta é
\Delta\theta = 50^\circ-30^\circ=20^\circ=\frac{\pi}{9}.
  • Portanto
V=\frac{56}{3}\cdot\frac{\pi}{9}\cdot\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr)=\frac{56\pi}{27}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr).
  • Aproximação numérica (se quiser conferir rapidamente):
\cos20^\circ\approx0,9396926\Rightarrow \cos20^\circ-\tfrac12\approx0,43969262,
V\approx \frac{56\pi}{27}\cdot0,43969262\approx 2{,}863\\ (\text{unidades}^3).

Passo 4

(b) Área total das seis faces: identificar as seis faces e calcular cada uma.
As seis faces são:
  1. Superfície esférica exterior: r=4 com \theta e \varphi variando.
  2. Superfície esférica interior: r=2 com \theta e \varphi variando.
  3. Plano azimutal \theta=30^\circ com r,\varphi variando.
  4. Plano azimutal \theta=50^\circ com r,\varphi variando.
  5. Cono \varphi=20^\circ com r,\theta variando.
  6. Cono \varphi=60^\circ com r,\theta variando.
Vou calcular a área de cada tipo usando os elementos de área citados.
  • Áreas das partes de esfera r= constante:
    • Para r=a,
    dA = a^{2}\sin\varphi\; d\varphi\; d\theta,
    então, com \Delta\theta=\pi/9 e \varphi entre 20^\circ e 60^\circ,
    A_{\text{esfera},r=a} = a^{2}\cdot\frac{\pi}{9}\cdot\bigl(\cos20^\circ-\cos60^\circ\bigr) = a^{2}\cdot\frac{\pi}{9}\cdot\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr).
    • Para a=2: A_{r=2}=4\cdot\frac{\pi}{9}(\cos20^\circ-\tfrac12).
    • Para a=4: A_{r=4}=16\cdot\frac{\pi}{9}(\cos20^\circ-\tfrac12).
    • Soma das duas esferas:
    A_{\text{sferas}}=(4+16)\cdot\frac{\pi}{9}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr)=\frac{20\pi}{9}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr).
  • Áreas das faces \theta= constante (planos azimutais): derivação rápida do elemento de área. Parametrizo por (r,\varphi) com \theta fixo; calculei que o elemento tem módulo r\;dr\;d\varphi. Assim
    A_{\theta=\theta_0}=\int_{\varphi=20^\circ}^{60^\circ}\int_{r=2}^{4} r \; dr\; d\varphi =\Delta\varphi\cdot\frac{4^{2}-2^{2}}{2} =\Delta\varphi\cdot 6,
    onde \Delta\varphi=60^\circ-20^\circ=40^\circ=\frac{2\pi}{9}.
    • Então cada face \theta=const tem área 6\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{12\pi}{9}=\frac{4\pi}{3}.
    • Há duas dessas faces, portanto
    A_{\theta\text{-planos}}=2\cdot 6\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{8\pi}{3}.
  • Áreas das superfícies \varphi= constante (conos): para \varphi=\phi_0, o elemento é dA=r\sin\phi_0\; dr\; d\theta. Assim
    A_{\varphi=\phi_0}=\int_{\theta=30^\circ}^{50^\circ}\int_{r=2}^{4} r\sin\phi_0\; dr\; d\theta =\Delta\theta\cdot\sin\phi_0\cdot\frac{4^{2}-2^{2}}{2} =6\Delta\theta\sin\phi_0,
    com \Delta\theta=\pi/9.
    • Para \phi_0=20^\circ e \phi_0=60^\circ somamos:
    A_{\text{conos}} = 6\cdot\frac{\pi}{9}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr) =\frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr).
  • Somando todas as contribuições:
A_{\text{total}} = \frac{20\pi}{9}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr) \;+\; \frac{8\pi}{3} \;+\; \frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr).
  • Aproximação numérica (para conferência): A_{\text{total}}\approx 13{,}9756\\ (\text{unidades}^2).

Passo 5

(c) Comprimento total das doze arestas. Identificação das arestas e cálculo das suas respectivas linhas.
As arestas são as interseções entre pares das superfícies limites. Podemos classificá‑las por que coordenadas ficam fixas e qual varia:
Tipo I — r= constante e \theta= constante (varia \varphi): curvas sobre as esferas, com r fixo e \theta fixo.
  • Parametrização por \varphi dá vetor posição \mathbf{X}(\varphi)=r(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi).
  • Derivada em relação a \varphi tem norma |\mathbf{X}'(\varphi)|=r.
  • Portanto comprimento de tal aresta (de \varphi=20^\circ a 60^\circ) é
\ell = r\Delta\varphi = r\cdot\frac{2\pi}{9}.
  • Existem 4 arestas desse tipo: r=2 com \theta=30^\circ,50^\circ (duas) e r=4 com \theta=30^\circ,50^\circ (duas). Soma:
\text{Soma Tipo I}=2\cdot\bigl(2\cdot\frac{2\pi}{9}\bigr)+2\cdot\bigl(4\cdot\frac{2\pi}{9}\bigr) =12\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{8\pi}{3}.
(Essa é a soma das 4 arestas do tipo I.)
Tipo II — r= constante e \varphi= constante (varia \theta): curvas ao longo de círculos de latitude; norma do vetor derivada é r\sin\varphi.
  • Comprimento de cada aresta (de \theta=30^\circ a 50^\circ) é
\ell = r\sin\varphi\;\Delta\theta = r\sin\varphi\cdot\frac{\pi}{9}.
  • Existem 4 arestas desse tipo: para r=2,4 e \varphi=20^\circ,60^\circ. Soma:
\text{Soma Tipo II} = \frac{\pi}{9}\bigl[2(\sin20^\circ+\sin60^\circ)+4(\sin20^\circ+\sin60^\circ)\bigr] =6\cdot\frac{\pi}{9}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr) =\frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr).
Tipo III — \theta= constante e \varphi= constante (varia r): segmentos radiais (reta do centro para fora).
  • Parametrização \mathbf{X}(r)=r\mathbf{u} (com \mathbf{u} unitário) tem |\mathbf{X}'(r)|=1.
  • Comprimento de cada aresta é simplesmente 4-2=2.
  • Existem 4 arestas desse tipo (duas \theta × duas \varphi), logo soma:
\text{Soma Tipo III}=4\cdot 2 = 8.
  • Somando os três tipos obtemos o comprimento total das 12 arestas:
L_{\text{total}} = \frac{8\pi}{3} \;+\; \frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr) \;+\; 8.
  • Aproximação numérica:
L_{\text{total}}\approx 8{,}37758 + 2{,}52900 + 8 \approx 18{,}9066\\ (\text{unidades}).

Passo 6

(d) Comprimento da maior linha reta inteira dentro do volume.
  • Observação e estratégia: uma reta de maior comprimento entre dois pontos do sólido será o maior segmento entre dois pontos do domínio. Para maximizar a distância entre dois pontos com coordenadas esféricas (r_1,\theta_1,\phi_1) e (r_2,\theta_2,\phi_2) é vantajoso tomar ambos os r máximos, isto é r_1=r_2=4, porque a distância cresce com r quando as direções são fixas. Portanto o maior segmento vai entre dois pontos na esfera exterior r=4, escolhendo direções unitárias \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 dentro da janela angular dada para minimizar o produto escalar \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2 (ou seja, maximizar o ângulo entre as direções).
  • Distância entre dois pontos na esfera r=4 com ângulo entre direções igual \gamma:
d = \sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot 4\cdot 4\cos\gamma} = 4\sqrt{2-2\cos\gamma} = 8\sin\frac{\gamma}{2}.
  • Para minimizar \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=\cos\gamma, escolhemos direções em extremos dos intervalos \theta e \varphi. Testando as combinações dos cantos (é natural e razoável que o mínimo do produto escalar ocorra em vértices do domínio angular), a combinação que dá o menor produto escalar é, por exemplo,:
    (\phi_1,\theta_1)=(20^\circ,30^\circ) e (\phi_2,\theta_2)=(60^\circ,50^\circ) (ou a permutação simétrica). Para essas direções o produto escalar é
\cos\gamma = \sin20^\circ\sin60^\circ\cos(20^\circ) + \cos20^\circ\cos60^\circ.
(Usei a fórmula do produto escalar entre vetores em coordenadas esféricas:
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=\sin\phi_1\sin\phi_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\cos\phi_1\cos\phi_2.)
  • Substituindo números:
\cos\gamma = \sin20^\circ\sin60^\circ\cos20^\circ + \cos20^\circ\cdot\tfrac12 \approx 0{,}74790953.
  • Então
1-\cos\gamma \approx 0{,}25209047\quad\Rightarrow\quad d_{\max} = \sqrt{32(1-\cos\gamma)} \approx \sqrt{8{,}066895} \approx 2{,}8403.
  • Em forma exata simbólica (usando a expressão para \cos\gamma):
d_{\max}=4\sqrt{2-2\bigl(\sin20^\circ\sin60^\circ\cos20^\circ+\cos20^\circ\cos60^\circ\bigr)}.
Motivação resumida de porque escolhi os cantos: a função \cos\gamma é contínua e, num retângulo fechado das variáveis angulares, o mínimo é atingido em algum extremo; testar os vértices (as quatro combinações “extremas”) mostrou que a combinação acima dá o menor produto escalar.

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{56\pi}{27}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr)\approx 2{,}863
(b ) \displaystyle A_{\text{total}}=\frac{20\pi}{9}\bigl(\cos20^\circ-\tfrac12\bigr)+\frac{8\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr)\approx 13{,}9756
(c ) \displaystyle L_{\text{total}}= \frac{8\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\bigl(\sin20^\circ+\sin60^\circ\bigr)+8\approx 18{,}9066
(d ) \displaystyle d_{\max}=4\sqrt{2-2\bigl(\sin20^\circ\sin60^\circ\cos20^\circ+\cos20^\circ\cos60^\circ\bigr)}\approx 2{,}8403

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