1.27 As superfícies
e
e
e
e
limitam uma superfície fechada. (a) Determine o volume contido. (b) Determine a área total da superfície limite. (c) Determine o comprimento total das doze bordas da superfície. (d) Determine o comprimento da maior linha reta que está contida inteiramente dentro do volume.
Passo 1
O enunciado fornece as superfícies limites (em coordenadas esféricas) e pede quatro quantidades. Vou listar cuidadosamente o que está dado e o que se deve encontrar.
-
Dados (peguei exatamente do enunciado):
e .
e .
e . -
Perguntas:
(a) Determine o volume contido pela região limitada por essas seis superfícies.
(b) Determine a área total da superfície limite (a soma das áreas das seis faces).
(c) Determine o comprimento total das doze arestas (bordas) dessa superfície fechada.
(d) Determine o comprimento da maior linha reta que está inteiramente dentro do volume.
Passo 2
Convenção de coordenadas e método (muito importante). Vou usar a convenção usual de cálculo em que as coordenadas esféricas são
com:
-
= distância ao origem (raio), . -
= ângulo azimutal no plano (medido no intervalo ), aqui vai de a . -
= ângulo polar medido a partir do eixo ( ), aqui vai de a .
Justificativa: com esses limites (pequenos intervalos em
e
) faz sentido interpretar
como azimute e
como polar; nessa convenção a diferencial de volume e os elementos de área têm formas padrão que vou usar:
- Diferencial de volume:
Explicação rápida do que é cada termo:
aparece pela medida radial (volume cresce como
),
corrige a densidade angular ao medir “fatias” em
, e
são os incrementos nas três coordenadas.
- Elementos de área sobre superfícies coordenadas (vou explicar e derivar quando usar):
- Para superfície
constante: . - Para superfície
constante: . - Para superfície
constante: .
- Para superfície
Vou aplicar essas fórmulas e explicar cada passo de cálculo.
Passo 3
(a) Volume: montar o integral triplo e calcular passo a passo.
- A região é descrita por
- Escrevemos o volume como integral:
- Integramos em
primeiro:
- Agora a integral torna-se
- Integramos em
:
(Usei
.)
- Integramos em
; o comprimento angular em é
- Portanto
- Aproximação numérica (se quiser conferir rapidamente):
Passo 4
(b) Área total das seis faces: identificar as seis faces e calcular cada uma.
As seis faces são:
- Superfície esférica exterior:
com e variando. - Superfície esférica interior:
com e variando. - Plano azimutal
com variando. - Plano azimutal
com variando. - Cono
com variando. - Cono
com variando.
Vou calcular a área de cada tipo usando os elementos de área citados.
-
Áreas das partes de esfera
constante: - Para
,
então, come entre e , - Para
: . - Para
: . - Soma das duas esferas:
- Para
-
Áreas das faces
constante (planos azimutais): derivação rápida do elemento de área. Parametrizo por com fixo; calculei que o elemento tem módulo . Assim onde. - Então cada face
const tem área . - Há duas dessas faces, portanto
- Então cada face
-
Áreas das superfícies
constante (conos): para , o elemento é . Assim com. - Para
e somamos:
- Para
-
Somando todas as contribuições:
- Aproximação numérica (para conferência):
Passo 5
(c) Comprimento total das doze arestas. Identificação das arestas e cálculo das suas respectivas linhas.
As arestas são as interseções entre pares das superfícies limites. Podemos classificá‑las por que coordenadas ficam fixas e qual varia:
Tipo I —
constante e
constante (varia
): curvas sobre as esferas, com
fixo e
fixo.
- Parametrização por
dá vetor posição . - Derivada em relação a
tem norma . - Portanto comprimento de tal aresta (de
a ) é
- Existem 4 arestas desse tipo:
com (duas) e com (duas). Soma:
(Essa é a soma das 4 arestas do tipo I.)
Tipo II —
constante e
constante (varia
): curvas ao longo de círculos de latitude; norma do vetor derivada é
.
- Comprimento de cada aresta (de
a ) é
- Existem 4 arestas desse tipo: para
e . Soma:
Tipo III —
constante e
constante (varia
): segmentos radiais (reta do centro para fora).
- Parametrização
(com unitário) tem . - Comprimento de cada aresta é simplesmente
. - Existem 4 arestas desse tipo (duas
× duas ), logo soma:
- Somando os três tipos obtemos o comprimento total das 12 arestas:
- Aproximação numérica:
Passo 6
(d) Comprimento da maior linha reta inteira dentro do volume.
-
Observação e estratégia: uma reta de maior comprimento entre dois pontos do sólido será o maior segmento entre dois pontos do domínio. Para maximizar a distância entre dois pontos com coordenadas esféricas
e é vantajoso tomar ambos os máximos, isto é , porque a distância cresce com quando as direções são fixas. Portanto o maior segmento vai entre dois pontos na esfera exterior , escolhendo direções unitárias dentro da janela angular dada para minimizar o produto escalar (ou seja, maximizar o ângulo entre as direções). -
Distância entre dois pontos na esfera
com ângulo entre direções igual :
- Para minimizar
, escolhemos direções em extremos dos intervalos e . Testando as combinações dos cantos (é natural e razoável que o mínimo do produto escalar ocorra em vértices do domínio angular), a combinação que dá o menor produto escalar é, por exemplo,:
e (ou a permutação simétrica). Para essas direções o produto escalar é
(Usei a fórmula do produto escalar entre vetores em coordenadas esféricas:
.)
- Substituindo números:
- Então
- Em forma exata simbólica (usando a expressão para
):
Motivação resumida de porque escolhi os cantos: a função
é contínua e, num retângulo fechado das variáveis angulares, o mínimo é atingido em algum extremo; testar os vértices (as quatro combinações “extremas”) mostrou que a combinação acima dá o menor produto escalar.
Resposta
(a)
(b
(c
(d