Interprete cada uma das leis de conservação abaixo sob o prisma dos dois métodos de derivação.
Conservação da Energia Total.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente interpretar a lei de conservação da energia total usando dois jeitos de derivar:
Conteúdo: mecânica lagrangeana e Teorema de Noether.
O que vamos precisar:
  1. Lagrangiana L(qi,dot qi,t)=T-V
  2. Equações de Euler–Lagrange
  3. Definição da energia total E
  4. Noções de simetria de tempo e o Teorema de Noether

Passo 2

Derivação direta via Euler–Lagrange
  1. Começa definindo o momento canônico
pi=partial Lpartialdot qi
  1. Monta a energia (função hamiltoniana)
E=sumi pidot qi - L
  1. Se L não depende de t explicitamente ( partial L/partial t=0), você mostra que
dEdt=-partial Lpartial t=0
  1. Conclui que E é constante no tempo.
    Aqui a ideia é: trabalhando com Euler–Lagrange, o fato de L não “mudar” com o tempo faz dE/dt=0.

Passo 3

Derivação via Teorema de Noether (simetria temporal)
  1. Fala assim: “Se o sistema não vê diferença entre um instante e outro – ou seja, é invariante por translação no tempo –, existe uma quantidade conservada.”
  2. O Teorema de Noether diz que a simetria de tempo gera a energia como carga conservada.
  3. Com isso, a invariância tto t+varepsilon implica diretamente
dEdt=0,
onde de novo E=sumi pidot qi - L.
Ou seja, em vez de bater o d/dt direto, a gente usa a “regra” de Noether pra dizer: simetria → quantidade conservada → energia constante.

Resposta

A energia total
E ;=;sumidot qi,partial Lpartialdot qi;-;L
permanece constante ( dEdt=0) porque
  1. via Euler–Lagrange: partial L/partial t=0 leva a dE/dt=0,
  2. via Noether: a invariância de L sob translação no tempo garante a conservação de E.

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