Interprete cada uma das leis de conservação abaixo sob o prisma dos dois métodos de derivação.
Conservação da Energia Total.
Conservação da Energia Total.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente interpretar a lei de conservação da energia total usando dois jeitos de derivar:
Conteúdo: mecânica lagrangeana e Teorema de Noether.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica lagrangeana e Teorema de Noether.
O que vamos precisar:
- Lagrangiana
- Equações de Euler–Lagrange
- Definição da energia total
- Noções de simetria de tempo e o Teorema de Noether
Passo 2
Derivação direta via Euler–Lagrange
- Começa definindo o momento canônico
- Monta a energia (função hamiltoniana)
- Se
não depende de explicitamente ( ), você mostra que
- Conclui que
é constante no tempo.
Aqui a ideia é: trabalhando com Euler–Lagrange, o fato denão “mudar” com o tempo faz .
Passo 3
Derivação via Teorema de Noether (simetria temporal)
- Fala assim: “Se o sistema não vê diferença entre um instante e outro – ou seja, é invariante por translação no tempo –, existe uma quantidade conservada.”
- O Teorema de Noether diz que a simetria de tempo gera a energia como carga conservada.
- Com isso, a invariância
implica diretamente
onde de novo
.
Ou seja, em vez de bater o d/dt direto, a gente usa a “regra” de Noether pra dizer: simetria → quantidade conservada → energia constante.
Ou seja, em vez de bater o d/dt direto, a gente usa a “regra” de Noether pra dizer: simetria → quantidade conservada → energia constante.
Resposta
A energia total
permanece constante (
) porque
- via Euler–Lagrange:
leva a , - via Noether: a invariância de
sob translação no tempo garante a conservação de .