O vetor fluxo de massa
que passa por um volume fechado é
.
a) Obtenha a equação para o fluxo residual de massa por unidade de volume.
b) Obtenha a taxa de variação local da massa dentro do volume fechado cujas coordenadas dos vértices são: (0,0,0); (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1); (0,1,0); (1,1,0); (0,1,1); (1,1,1). (R:
)
c) Obtenha a taxa de variação local da massa dentro do volume fechado cujas coordenadas dos vértices são: (
);
;
;
;
a) Obtenha a equação para o fluxo residual de massa por unidade de volume.
c) Obtenha a taxa de variação local da massa dentro do volume fechado cujas coordenadas dos vértices são: (
Passo 1
Beleza, o problema diz que o fluxo de massa é
e pede:
a) o fluxo residual de massa por unidade de volume;
b) a taxa de variação local de massa num volume de vértices (0,0,0) a (1,1,1);
c) a mesma taxa num outro paralelepípedo cujos vértices são os dados.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial (divergência de campo) e integral tripla (conservação local de massa). Vamos usar:
a) o fluxo residual de massa por unidade de volume;
b) a taxa de variação local de massa num volume de vértices (0,0,0) a (1,1,1);
c) a mesma taxa num outro paralelepípedo cujos vértices são os dados.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial (divergência de campo) e integral tripla (conservação local de massa). Vamos usar:
e
Passo 2
(a) Calcular
:
-
-
-
Logo
e o fluxo residual por unidade de volume é
Passo 3
(b) No cubo com
, a variação local de massa é
Detalhando cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando e colocando o sinal negativo:
Passo 4
(c) Agora
, então
Calculando termo a termo:
-
:
-
:
-
:
Então
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)