O vetor fluxo de massa rho V que passa por um volume fechado é rho V=4 x^2 y imath+x y z jmath+ y z^2 k.
a) Obtenha a equação para o fluxo residual de massa por unidade de volume.
(R: -(8 x y+x z+2 y z))
b) Obtenha a taxa de variação local da massa dentro do volume fechado cujas coordenadas dos vértices são: (0,0,0); (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1); (0,1,0); (1,1,0); (0,1,1); (1,1,1). (R: -2,75 kg s^-1 )
c) Obtenha a taxa de variação local da massa dentro do volume fechado cujas coordenadas dos vértices são: ( 0,0,0 ); (2,0,0); (0,5,0); (0,0,3); (0,5,0) ;(2,5,0) ;(0,5,3) ;(2,5,3) (R:-470 kg s^-1)

Passo 1

Beleza, o problema diz que o fluxo de massa é
rhovec V = 4x^2y,hatimath ;+; xyz,hatjmath ;+; yz^2,hat k
e pede:
a) o fluxo residual de massa por unidade de volume;
b) a taxa de variação local de massa num volume de vértices (0,0,0) a (1,1,1);
c) a mesma taxa num outro paralelepípedo cujos vértices são os dados.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial (divergência de campo) e integral tripla (conservação local de massa). Vamos usar:
nablacdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z,
e
dot m = integralV -nablacdot(rhovec V),dV

Passo 2

(a) Calcular nablacdot(rhovec V):
  • partialx(4x^2y)=8xy
  • partialy(xyz)=xz
  • partialz(yz^2)=2yz
    Logo
nablacdot(rhovec V)=8xy + xz +2yz
e o fluxo residual por unidade de volume é
-nablacdot(rhovec V)=-(8xy + xz +2yz)

Passo 3

(b) No cubo com 0<= x,y,z<=1, a variação local de massa é
dot m=integral0^1!integral0^1!integral0^1 -(8xy + xz +2yz),dx,dy,dz
Detalhando cada termo:
  1. Para 8xy:
8integral0^1x,dx;integral0^1y,dy;integral0^1dz =8cdot12cdot12cdot1 =2
  1. Para xz:
integral0^1x,dx;integral0^1dz;integral0^1dy =12cdot1cdot1 =14
  1. Para 2yz:
2integral0^1dx;integral0^1y,dy;integral0^1z,dz =2cdot1cdot12cdot12 =12
Somando e colocando o sinal negativo:
dot m = -l(2 + tfrac14 + tfrac12r) = -tfrac114 = -2,75 kg/s

Passo 4

(c) Agora 0<= x<=2, 0<= y<=5, 0<= z<=3, então
dot m=integral0^3!integral0^5!integral0^2 -(8xy + xz +2yz),dx,dy,dz
Calculando termo a termo:
  1. 8xy:
8integral0^2x,dx;integral0^5y,dy;integral0^3dz =8cdot2^22cdot5^22cdot3 =600
  1. xz:
integral0^2x,dx;integral0^5dy;integral0^3z,dz =2cdot5cdot3^22 =45
  1. 2yz:
2integral0^2dx;integral0^5y,dy;integral0^3z,dz =2cdot2cdot5^22cdot3^22 =225
Então
dot m = -(600 + 45 + 225) = -870 kg/s

Resposta

a) -(8xy + xz + 2yz)
b) -2,75 kg/s
c) -870 kg/s

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