Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que o comprimento medido em um sistema em repouso seja a
do comprimento medido em um sistema em movimento?
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a velocidade entre dois referenciais (em termos de
) de modo que o comprimento medido em um referencial seja
do comprimento medido no outro.
Informações dadas (resumidas e sem resolver ainda):
Informações dadas (resumidas e sem resolver ainda):
- A razão entre os comprimentos é
, onde é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (comprimento próprio) e é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento. - Queremos determinar a velocidade
em função de que produz essa contração.
Passo 2
Apresentando a fórmula necessária (aqui eu explico devagar e com calma):
A contração de Lorentz diz que o comprimento medido no referencial em que o objeto se move com velocidade é menor que o comprimento próprio. A fórmula é
A contração de Lorentz diz que o comprimento medido no referencial em que o objeto se move com velocidade
O que cada símbolo significa:
-
é o comprimento próprio: o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso. -
é o comprimento medido num referencial onde o objeto se move com velocidade . -
é a velocidade relativa entre os referenciais (o que queremos achar). -
é a velocidade da luz.
Um atalho útil é definir. Então . Outra forma de escrever a fórmula é com
chamado fator de Lorentz. Se
é
de
, então
e podemos usar a fórmula para achar
.
Passo 3
Substituindo a razão dada na fórmula:
Agora vamos isolar
.
Passo 4
Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calcule o quadrado:
Logo
Passo 5
Isolando
:
Observação exata:
. Portanto
Passo 6
Tirando a raiz quadrada para obter
:
Em forma decimal, usando aproximação razoável:
Passo 7
Uma verificação rápida (método alternativo curto, só pra fixar): se
então
. Como
, temos
e daí
, que é exatamente o resultado acima.