Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que o comprimento medido em um sistema em repouso seja a 75 \% do comprimento medido em um sistema em movimento?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade entre dois referenciais (em termos de c) de modo que o comprimento medido em um referencial seja 75\% do comprimento medido no outro.
Informações dadas (resumidas e sem resolver ainda):
  • A razão entre os comprimentos é \dfrac{L}{L_0}=0{,}75, onde \,L_0\, é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (comprimento próprio) e \,L\, é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento.
  • Queremos determinar a velocidade v em função de c que produz essa contração.

Passo 2

Apresentando a fórmula necessária (aqui eu explico devagar e com calma):
A contração de Lorentz diz que o comprimento medido no referencial em que o objeto se move com velocidade v é menor que o comprimento próprio. A fórmula é
L = L_0\,\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}.
O que cada símbolo significa:
  • L_0 é o comprimento próprio: o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso.
  • L é o comprimento medido num referencial onde o objeto se move com velocidade v.
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais (o que queremos achar).
  • c é a velocidade da luz.
    Um atalho útil é definir \beta=\dfrac{v}{c}. Então \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\beta^2}. Outra forma de escrever a fórmula é L=L_0/\gamma com
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
chamado fator de Lorentz. Se L é 75\% de L_0, então L/L_0=0{,}75 e podemos usar a fórmula para achar \beta.

Passo 3

Substituindo a razão dada na fórmula:
\frac{L}{L_0}=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}=0{,}75.
Agora vamos isolar v.

Passo 4

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1-\dfrac{v^2}{c^2}=(0{,}75)^2.
Calcule o quadrado:
(0{,}75)^2=0{,}5625.
Logo
1-\dfrac{v^2}{c^2}=0{,}5625.

Passo 5

Isolando \dfrac{v^2}{c^2}:
\dfrac{v^2}{c^2}=1-0{,}5625=0{,}4375.
Observação exata: 0{,}4375=\dfrac{7}{16}. Portanto
\dfrac{v^2}{c^2}=\dfrac{7}{16}.

Passo 6

Tirando a raiz quadrada para obter \dfrac{v}{c}:
\dfrac{v}{c}=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}.
Em forma decimal, usando aproximação razoável:
\dfrac{v}{c}\approx 0{,}6614.

Passo 7

Uma verificação rápida (método alternativo curto, só pra fixar): se L/L_0=0{,}75 então \gamma=1/(L/L_0)=1/0{,}75=4/3. Como \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}, temos \sqrt{1-\beta^2}=3/4 e daí \beta=\sqrt{1-(3/4)^2}=\sqrt{7}/4, que é exatamente o resultado acima.

Resposta

\displaystyle v=\frac{\sqrt{7}}{4}\,c\approx 0{,}6614\,c

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