Explique energia de ligação em função da distância e das forças atrativas e repulsivas.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como a energia de ligação entre duas partículas (átomos ou moléculas) varia em função da distância r, levando em conta as forças atrativas e repulsivas. O conteúdo envolve energia potencial U(r), relação entre força e energia potencial e a forma qualitativa da curva de U(r).

Passo 2

Para qualquer par de partículas, a força resultante F(r) está relacionada à energia potencial U(r) pela equação
F(r) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}.
Logo, se conhecermos F(r), podemos obter U(r) integrando em r. Inversamente, o comportamento de U(r) em diferentes distâncias revela se a interação é atrativa ( F<0) ou repulsiva ( F>0).

Passo 3

As contribuições principais são:
– Força atrativa de longo alcance, típicamente de origem eletrostática (Iônica) ou de van der Waals, que decai com r. Um modelo genérico é
F_{\mathrm{attr}}(r)\approx -\frac{A}{r^n},\quad A>0,\;n>1,
o que gera um termo de energia
U_{\mathrm{attr}}(r)\approx -\frac{A}{(n-1)\,r^{\,n-1}}.
– Força repulsiva de curto alcance, associada ao princípio de exclusão de Pauli, que cresce muito rápido quando as nuvens eletrônicas se sobrepõem. Um modelo usual é
F_{\mathrm{rep}}(r)\approx +\frac{B}{r^m},\quad B>0,\;m>n,
levando a
U_{\mathrm{rep}}(r)\approx +\frac{B}{(m-1)\,r^{\,m-1}}.

Passo 4

Somando as duas contribuições, a energia potencial total é
U(r)=U_{\mathrm{rep}}(r)+U_{\mathrm{attr}}(r) =\frac{B}{(m-1)\,r^{\,m-1}} -\frac{A}{(n-1)\,r^{\,n-1}}.
Para r\to\infty, U(r)\to0 (partículas livres). Para r\to0, U(r)\to+\infty (forte repulsão).

Passo 5

A curva de U(r) apresenta um mínimo em r=r_0, onde
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}\Big|_{r_0}=0 \quad\Longrightarrow\quad F(r_0)=0.
Nesse ponto as forças atrativa e repulsiva se cancelam, definindo o comprimento de ligação r_0. A vizinhança de r_0 forma um “poço” de potencial: se r varia um pouco em torno de r_0, o sistema sente uma força restauradora.

Passo 6

A energia de ligação E_{\mathrm{lig}} é a energia necessária para levar as partículas de r_0 a r\to\infty. Como U(\infty)=0 e U(r_0) é negativo (poço),
E_{\mathrm{lig}} = -\,U(r_0).
Quanto mais profundo o poço, maior E_{\mathrm{lig}} e mais estável a ligação.

Passo 7

Um exemplo padrão é o potencial de Lennard-Jones, que usa n=6 e m=12:
U(r)=4\varepsilon\Bigl[\Bigl(\frac{\sigma}{r}\Bigr)^{12}-\Bigl(\frac{\sigma}{r}\Bigr)^{6}\Bigr],
onde \varepsilon é a profundidade do poço (energia de ligação) e \sigma é a distância em que U(r)=0. O mínimo ocorre em r_0=2^{1/6}\sigma.

Resposta

A energia de ligação surge do equilíbrio entre a atração de longo alcance (que diminui a energia conforme r diminui) e a repulsão de curto alcance (que faz a energia crescer muito em r pequeno). A energia potencial total
U(r)=U_{\mathrm{rep}}(r)+U_{\mathrm{attr}}(r)
mostra um poço com mínimo em r_0. A profundidade desse poço, -U(r_0), é a energia de ligação: a quantidade de energia necessária para separar as partículas até r\to\infty.

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