O que é fator de empacotamento em uma célula unitária? Calcule o fator de empacotamento para a célula CS, CCC, CFC.

Passo 1

O enunciado pede para entender o que é o fator de empacotamento e calculá-lo para as três redes cúbicas: simples (SC), de corpo centrado (BCC) e de faces centradas (FCC). O fator de empacotamento, também chamado de APF (atomic packing factor), é a fração do volume da célula unitária efetivamente ocupada pelas esferas atômicas, assumindo que cada átomo é uma esfera rígida.

Passo 2

Para a célula cúbica simples (SC):
Cada célula tem 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com 1/8 do átomo, totalizando 1 átomo por célula. Como átomos vizinhos tocam ao longo da aresta, vale
2r = a \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{a}{2}.
O volume ocupado pelas esferas é
V_{\text{esferas}} = 1 \times \frac{4}{3}\pi r^{3}
e o volume da célula é a^{3}. Logo
\mathrm{APF}_{\mathrm{SC}} = \frac{\frac{4}{3}\pi\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi}{6}\approx 0{,}524.

Passo 3

Para a célula de corpo centrado (BCC):
Há 8 átomos de vértice (total 8\times\frac18=1) mais 1 no centro, ou seja, 2 átomos por célula. Eles tocam ao longo da diagonal do corpo, então
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\sqrt{3}\,a}{4}.
O volume ocupado é
V_{\text{esferas}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^{3}
e o volume da célula continua a^{3}. Assim
\mathrm{APF}_{\mathrm{BCC}} = \frac{2\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(\tfrac{\sqrt{3}a}{4}\bigr)^{3}}{a^{3}} = \frac{\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx 0{,}680.

Passo 4

Para a célula de faces centradas (FCC):
Há 8 vértices ( 8\times\frac18=1 átomo) mais 6 faces ( 6\times\frac12=3 átomos), totalizando 4 átomos por célula. Os átomos tocam ao longo da diagonal da face, logo
\sqrt{2}\,a = 4r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\sqrt{2}\,a}{4}.
O volume de esferas é
V_{\text{esferas}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^{3}
e a célula tem volume a^{3}. Dessa forma
\mathrm{APF}_{\mathrm{FCC}} = \frac{4\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(\tfrac{\sqrt{2}a}{4}\bigr)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx 0{,}740.

Passo 5

Interpretando os resultados, vemos que a FCC é a mais densa ( \approx0{,}740), seguida da BCC ( \approx0{,}680) e, por fim, a cúbica simples ( \approx0{,}524).

Resposta

\mathrm{APF}_{\mathrm{SC}} = \tfrac{\pi}{6}\approx0{,}524
\mathrm{APF}_{\mathrm{BCC}} = \tfrac{\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx0{,}680
\mathrm{APF}_{\mathrm{FCC}} = \tfrac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx0{,}740

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