Explique o espalhamento Compton.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o espalhamento Compton.
Informações/quantidades que aparecem naturalmente na explicação (vou nomear para usar depois):
  • fóton incidente com frequência \nu, comprimento de onda \lambda e energia h\nu;
  • fóton espalhado com frequência \nu', comprimento de onda \lambda' e energia h\nu';
  • elétron inicialmente em repouso, com massa m e energia de repouso mc^2;
  • ângulo de espalhamento do fóton em relação à direção incidente \theta (figura típica: fóton chega, parte é desviada por \theta e o elétron recebe impulso).
    Constantes que vamos usar: constante de Planck h, velocidade da luz c.

Passo 2

Conceitos físicos básicos que precisamos entender (aula rápida, sem assumir que você já sabe):
  • Fóton como partícula: tem energia \;h\nu\; e momento linear de módulo \;p=\dfrac{h\nu}{c}\;. Aqui h é a constante de Planck e \nu é a frequência do fóton. Isso vem da mecânica quântica/relatividade: energia E=h\nu e relação p=E/c para fótons.
  • Elétron relativístico: mesmo que esteja inicialmente em repouso, quando recebe energia ele passa a ter energia total E_e e momento \vec p_e ligados por \;E_e^2 = p_e^2 c^2 + m^2 c^4\;. Essa é a relação energia-momento relativística (não dá para usar só K=\tfrac{1}{2}mv^2 quando energias são comparáveis a mc^2).

Passo 3

Escrever as equações de conservação (essas são as leis que usamos para resolver o problema):
  • Conservação de energia:
h\nu + mc^2 = h\nu' + E_e.
Aqui E_e é a energia final do elétron.
  • Conservação de momento (vetorial): o momento inicial do fóton é igual à soma do momento do fóton espalhado e do elétron:
\frac{h\nu}{c}\,\hat{k} = \frac{h\nu'}{c}\,\hat{k}' + \vec p_e,
onde \hat{k} é a direção do fóton incidente e \hat{k}' a direção do fóton espalhado, com ângulo entre elas igual a \theta.

Passo 4

Expressar o momento do elétron a partir da conservação vetorial e calcular seu quadrado (isso ajuda a usar a relação relativística de energia-momento):
Do vetor momento,
\vec p_e = \frac{h\nu}{c}\,\hat{k} - \frac{h\nu'}{c}\,\hat{k}'.
O quadrado do módulo é
p_e^2 = \left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 + \left(\frac{h\nu'}{c}\right)^2 - 2\frac{h^2\nu\nu'}{c^2}\cos\theta.
Expliquei: usei que \hat{k}\cdot\hat{k}'=\cos\theta e que |\hat{k}|=|\hat{k}'|=1. Este passo é álgebra vetorial básica: |\vec a - \vec b|^2 = a^2 + b^2 - 2\vec a\cdot\vec b.

Passo 5

Relacionar a energia do elétron com seu momento usando a conservação de energia e expandir as expressões para eliminar p_e:
Pela conservação de energia temos
E_e = mc^2 + h\nu - h\nu'.
Agora usamos E_e^2 = p_e^2 c^2 + m^2 c^4. Substituindo E_e e p_e^2 chegamos a:
\big(mc^2 + h\nu - h\nu'\big)^2 = \bigg[\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 + \left(\frac{h\nu'}{c}\right)^2 - 2\frac{h^2\nu\nu'}{c^2}\cos\theta\bigg] c^2 + m^2 c^4.
Agora vamos expandir e simplificar cuidadosamente (nada de pular passos). À esquerda:
(mc^2)^2 + 2mc^2(h\nu - h\nu') + (h\nu - h\nu')^2.
À direita o termo com c^2 multiplica os parênteses e soma m^2 c^4, de modo que os m^2 c^4 aparecem em ambos os lados e se cancelam. Depois de cancelar e simplificar os termos (h\nu)^2 e (h\nu')^2, sobra:
2mc^2(h\nu - h\nu') = 2 h^2 \nu \nu' (1 - \cos\theta).
Dividindo ambos os lados por 2h \nu \nu' obtemos uma forma útil:
\frac{mc^2(h\nu - h\nu')}{h\nu \nu'} = h(1 - \cos\theta).

Passo 6

Transformar a expressão em termos de frequências e depois de comprimentos de onda (a forma mais conhecida da lei de Compton):
Da equação do passo anterior, simplificando corretamente (dividindo por h \nu \nu') temos
\frac{\nu - \nu'}{\nu \nu'} = \frac{h}{mc^2}(1 - \cos\theta).
Note que \dfrac{\nu - \nu'}{\nu\nu'} = \dfrac{1}{\nu'} - \dfrac{1}{\nu}. Usamos a relação entre frequência e comprimento de onda \lambda = \dfrac{c}{\nu} e \lambda' = \dfrac{c}{\nu'}. Reescrevendo em termos dos comprimentos de onda:
\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta).
Essa é a fórmula clássica do espalhamento Compton. Definimos a constante
\lambda_C \equiv \frac{h}{mc},
chamada comprimento de onda de Compton do elétron. Portanto a fórmula fica compacta:
\boxed{\lambda' - \lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta).}

Passo 7

Interpretação física e consequências (o que essa fórmula nos diz, em linguagem simples):
  • O fóton perde energia no espalhamento (ou seja, sua frequência diminui e seu comprimento de onda aumenta: \lambda'>\lambda quando \theta\neq 0). Isso é um “redshift” devido ao choque com o elétron.
  • A variação máxima de comprimento de onda ocorre para \theta=\pi (espalhamento para trás) e vale \Delta\lambda_{\max}=2\lambda_C.
  • Valor numérico: para o elétron \lambda_C=\dfrac{h}{mc}\approx 2{,}426\times 10^{-12}\,\mathrm{m}. Assim \Delta\lambda é da ordem de alguns picometros, portanto só é perceptível quando o comprimento de onda inicial é comparável a isso — por exemplo, em raios X e raios \gamma. Para luz visível ( \lambda\sim 10^{-7}\,\mathrm{m}) o efeito é desprezível.
  • Historicamente, a observação experimental de Compton (1923) confirmou que fótons carregam momento linear e provou de forma direta a natureza corpuscular da luz em interações com elétrons. Isso foi um ponto-chave para a aceitação da teoria quântica.

Passo 8

Limites e extensões que aparecem em exercícios e provas (dicas úteis):
  • Limite de energia baixa (fótons muito menos energéticos que mc^2): o espalhamento se aproxima do espalhamento Thomson (clássico), que não muda a frequência do fóton; a fórmula de Compton mostra mudança muito pequena.
  • Para cálculo do “quociente de probabilidades” (se precisa de seção eficaz diferencial) entra a fórmula de Klein–Nishina, que é o resultado quântico-relativístico completo para a probabilidade de espalhamento em função de \theta. Em muitos exercícios introdutórios você só precisa da relação de deslocamento de comprimento de onda que já deduzimos.
  • Para resolver problemas práticos: ou você dá \lambda e \theta e usa a fórmula para achar \lambda', ou dá energias h\nu e \theta e converte usando \lambda = c/\nu.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (para fixar): calcular \Delta\lambda máximo (espalhamento a 180^\circ).
\Delta\lambda_{\max}=2\lambda_C = 2\cdot 2{,}426\times 10^{-12}\,\mathrm{m} \approx 4{,}852\times 10^{-12}\,\mathrm{m}.
Se você tiver um raio X com \lambda=1{,}0\times10^{-10}\,\mathrm{m}, a fração \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\approx 0{,}0485 (aprox. 4{,}85\%), ou seja, perfeitamente mensurável experimentalmente. Para luz visível a mesma \Delta\lambda seria insignificante.

Passo 10

Resumo didático e sugestões de como responder em prova (curto e objetivo):
  • Diga o que é o efeito (fóton perdendo energia ao colidir com elétron; aumento de comprimento de onda dependente do ângulo).
  • Apresente a hipótese física usada (fóton com E=h\nu e p=h\nu/c; elétron inicialmente em repouso).
  • Escreva conservação de energia e de momento e mostre a dedução até \lambda' - \lambda = \lambda_C(1-\cos\theta).
  • Comente rapidamente sobre a ordem de grandeza e quando o efeito é importante.
    Você já consegue aplicar a fórmula e explicar o fenômeno — vai tranquilo na prova!

Resposta

O espalhamento Compton é o espalhamento de um fóton por um elétron livre em que o fóton perde energia (aumenta seu comprimento de onda) dependendo do ângulo de espalhamento; a relação entre os comprimentos de onda antes e depois é
\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}\,(1-\cos\theta).

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