Um raio X com
de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é
. [3]Exercício 38.15 . Pág 226 (Adaptada)
(a) Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
(b) Qual é a energia cinética final do elétron? [1,13 eV]
(a) Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
(b) Qual é a energia cinética final do elétron? [1,13 eV]
Passo 1
O enunciado dá um raio X (fóton) que chega com comprimento de onda
e sai depois da colisão com um comprimento de onda
. O elétron estava inicialmente em repouso. As perguntas são: (a) mostrar que a energia cinética do elétron após a colisão é
; (b) calcular numericamente essa energia cinética. O apóstrofo (’) indica a grandeza após a colisão.
Passo 2
Vamos lembrar algumas fórmulas e conceitos importantes (explicação curta e prática para a prova):
- Um fóton tem energia dada por
, onde é a constante de Planck e a frequência. Como , pode-se escrever a energia do fóton em função do comprimento de onda como . Aqui é a constante de Planck e é a velocidade da luz. - Conservação da energia: a energia total antes da colisão é igual à energia total depois. Não existe outra fonte de energia além do fóton e do elétron.
- Para o elétron, a energia total relativística final é
, onde é a energia de repouso e é a energia cinética que queremos encontrar. Inicialmente o elétron está em repouso, então sua energia inicial é apenas .
Passo 3
Escrevendo a conservação da energia para o sistema fóton + elétron (antes e depois):
a energia inicial é energia do fóton inicial mais energia de repouso do elétron; a energia final é energia do fóton final mais energia total do elétron (repouso + cinética). Em fórmula:
a energia inicial é energia do fóton inicial mais energia de repouso do elétron; a energia final é energia do fóton final mais energia total do elétron (repouso + cinética). Em fórmula:
Aqui
é a energia do fóton inicial,
a energia do fóton final, e
é a energia cinética do elétron (o que queremos).
Passo 4
Na equação do Passo 3 podemos cancelar
dos dois lados (porque aparece tanto antes quanto depois). Isso deixa:
Rearranjando para isolar
,
Passo 5
Fatorando
obtemos a forma pedida:
Isso responde (a). Interpretação física rápida: a energia perdida pelo fóton ao aumentar seu comprimento de onda é exatamente a energia cinética ganha pelo elétron (não há outras formas de energia no processo).
Passo 6
Agora calculamos numericamente (b). Usamos a forma prática
(valor útil em física de raios X, porque dá energia em eV quando
está em nm). Substituímos
e
:
Passo 7
Multiplicando pelo
em eV·nm:
Arredondando de forma conveniente para duas casas significativas: