Um raio X com 0,100 \mathrm{~nm} de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é 0,110 \mathrm{~nm}. [3]Exercício 38.15 . Pág 226 (Adaptada)
(a) Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
E_{e}=\operatorname{ch}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda^{\prime}}\right)
O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
(b) Qual é a energia cinética final do elétron? [1,13 eV]

Passo 1

O enunciado dá um raio X (fóton) que chega com comprimento de onda \lambda=0,100\\ \mathrm{nm} e sai depois da colisão com um comprimento de onda \lambda'=0,110\\ \mathrm{nm}. O elétron estava inicialmente em repouso. As perguntas são: (a) mostrar que a energia cinética do elétron após a colisão é \displaystyle E_{e}=ch\!\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right); (b) calcular numericamente essa energia cinética. O apóstrofo (’) indica a grandeza após a colisão.

Passo 2

Vamos lembrar algumas fórmulas e conceitos importantes (explicação curta e prática para a prova):
  • Um fóton tem energia dada por \displaystyle E_{\text{fóton}}=h\nuó, onde h é a constante de Planck e \nu a frequência. Como \nu=c/\lambda, pode-se escrever a energia do fóton em função do comprimento de onda como \displaystyle E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}ó. Aqui h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.
  • Conservação da energia: a energia total antes da colisão é igual à energia total depois. Não existe outra fonte de energia além do fóton e do elétron.
  • Para o elétron, a energia total relativística final é E_{\text{el, total}} = m c^{2} + K, onde m c^{2} é a energia de repouso e K é a energia cinética que queremos encontrar. Inicialmente o elétron está em repouso, então sua energia inicial é apenas m c^{2}.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia para o sistema fóton + elétron (antes e depois):
a energia inicial é energia do fóton inicial mais energia de repouso do elétron; a energia final é energia do fóton final mais energia total do elétron (repouso + cinética). Em fórmula:
\frac{hc}{\lambda} + m c^{2} = \frac{hc}{\lambda'} + \bigl(m c^{2} + E_{e}\bigr).
Aqui \displaystyle \frac{hc}{\lambda} é a energia do fóton inicial, \displaystyle \frac{hc}{\lambda'} a energia do fóton final, e E_{e} é a energia cinética do elétron (o que queremos).

Passo 4

Na equação do Passo 3 podemos cancelar m c^{2} dos dois lados (porque aparece tanto antes quanto depois). Isso deixa:
\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda'} + E_{e}.
Rearranjando para isolar E_{e},
E_{e} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}.

Passo 5

Fatorando \displaystyle hc obtemos a forma pedida:
\boxed{E_{e} = hc\!\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right).}
Isso responde (a). Interpretação física rápida: a energia perdida pelo fóton ao aumentar seu comprimento de onda é exatamente a energia cinética ganha pelo elétron (não há outras formas de energia no processo).

Passo 6

Agora calculamos numericamente (b). Usamos a forma prática \displaystyle hc\approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} (valor útil em física de raios X, porque dá energia em eV quando \lambda está em nm). Substituímos \lambda=0,100\\ \mathrm{nm} e \lambda'=0,110\\ \mathrm{nm}:
\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}=\frac{1}{0{,}100}-\frac{1}{0{,}110}=10{,}0-9{,}090909\ldots=0{,}9090909\ldots\\ \mathrm{nm^{-1}}.

Passo 7

Multiplicando pelo hc em eV·nm:
E_{e} \approx 1240\\ (\mathrm{eV\cdot nm})\times 0{,}9090909\\ \mathrm{nm^{-1}} =1240\times0{,}9090909\\ \mathrm{eV} \approx 1127{,}27\\ \mathrm{eV}.
Arredondando de forma conveniente para duas casas significativas:
E_{e}\approx 1{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{eV}=1{,}13\\ \mathrm{keV}.

Resposta

\displaystyle E_{e}=hc\!\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)
\displaystyle E_{e}\approx 1{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{eV}

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