Quando um feixe de luz ultravioleta de 400 nm incide sobre a superfície de um certo metal, a energia cinética máxima medida para os fotoelétrons emitidos é 1,10 \mathrm{eV}.
(a) Mostre que a função trabalho do material é 3,21 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ou 2,0 \mathrm{eV}
(b) Qual é a energia cinética máxima dos fotoelétrons quando a luz com comprimento de onda de 300,0 \mathrm{~nm} incide sobre a mesma superfície? [3,42 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ou 2,14 \mathrm{eV}\] [3]Exercício 38.9. Pág 226 (Adaptado)

Passo 1

O enunciado dá duas situações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos: a luz ultravioleta de comprimento de onda \,400\\ \mathrm{nm}\, incide sobre um metal e a energia cinética máxima medida dos fotoelétrons é \,1{,}10\\ \mathrm{eV}\,.
  • Pedidos:
    (a) Determinar a função trabalho (work function) do material, em joules e em elétron-volt.
    (b) Usando a mesma superfície (mesma função trabalho), encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons quando a luz tem comprimento de onda \,300{,}0\\ \mathrm{nm}\,.
  • Informação que vamos usar (constantes): a constante de Planck \,h\approx6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}\,, a velocidade da luz no vácuo \,c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\, e a conversão \,1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\,.
    Nada mais será assumido; a partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Lembrando a equação do efeito fotoelétrico (a fórmula que liga energia do fóton, função trabalho e energia cinética máxima do fotoelétron):
K_{\max}=h\nu-\varphi
onde:
  • K_{\max} é a energia cinética máxima dos fotoelétrons,
  • h é a constante de Planck,
  • \nu é a frequência da luz incidente,
  • \varphi é a função trabalho do material (energia mínima necessária para arrancar um elétron da superfície).
    Também sabemos que a frequência se relaciona com o comprimento de onda por
\nu=\frac{c}{\lambda},
logo a energia do fóton pode ser escrita como
E_{\text{fóton}}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}.ó
Aqui \lambda é o comprimento de onda (em metros). Esta é a fórmula principal que usaremos: primeiro calculamos a energia do fóton, depois usamos K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\varphió para achar \varphi ou K_{\max}.

Passo 3

Calcular a energia do fóton para \lambda=400\\ \mathrm{nm}. Primeiro converto o comprimento de onda para metros:
\lambda=400\\ \mathrm{nm}=400\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora uso \,E_{\text{fóton}}=\dfrac{hc}{\lambda}\,ó:
E_{\text{fóton}}=\frac{(6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})(3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})}{4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.ó
Faço a conta passo a passo:
  • Produto h c \approx 6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}=1{,}989\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
  • Dividindo por \lambda: E_{\text{fóton}}\approx\frac{1{,}989\times10^{-25}}{4{,}00\times10^{-7}}=4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
    Converto essa energia para elétron-volts (usar 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{\text{fóton}} \approx \frac{4{,}97\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx3{,}10\\ \mathrm{eV}.ó
Portanto, o fóton de \,400\\ \mathrm{nm}\, tem energia aproximada \,4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J} ou \,3{,}10\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Agora uso a equação do efeito fotoelétrico para achar a função trabalho \varphi. A equação isolada para \varphi é
\varphi = h\nu - K_{\max}=E_{\text{fóton}}-K_{\max}.ó
Temos E_{\text{fóton}}\approx4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó e o enunciado dá K_{\max}=1{,}10\\ \mathrm{eV}. Primeiro converto K_{\max} para joules:
K_{\max}=1{,}10\\ \mathrm{eV}=1{,}10\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}762\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora:
\varphi = 4{,}97\times10^{-19}\\ \mathrm{J} - 1{,}762\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=3{,}21\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Em elétron-volts:
\varphi = \frac{3{,}21\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}}\approx2{,}00\\ \mathrm{eV}.
Portanto a função trabalho é \,3{,}21\times10^{-19}\\ \mathrm{J} ou \,2{,}00\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Agora resolvo a parte (b): comprimento de onda \lambda=300{,}0\\ \mathrm{nm}. Primeiro converto para metros:
\lambda=300{,}0\\ \mathrm{nm}=300{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Calculo a energia do fóton:
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1{,}989\times10^{-25}}{3{,}00\times10^{-7}}\\ \mathrm{J}\approx6{,}63\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Converto para eV:
E_{\text{fóton}}\approx\frac{6{,}63\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx4{,}14\\ \mathrm{eV}.ó

Passo 6

Calculo a energia cinética máxima com a mesma função trabalho encontrada no Passo 4. Usando
K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\varphi,ó
temos em joules:
K_{\max}=6{,}63\times10^{-19}\\ \mathrm{J}-3{,}21\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=3{,}42\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Em elétron-volts:
K_{\max}=\frac{3{,}42\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}}\approx2{,}14\\ \mathrm{eV}.
Observação rápida (motivacional): se desse negativo, significaria que o fóton não tem energia suficiente e não haveria emissão; aqui deu positivo, então fotoelétrons são emitidos e têm \,2{,}14\\ \mathrm{eV} de energia máxima.

Resposta

(a) 3{,}21\times10^{-19}\\ \mathrm{J} ou 2{,}00\\ \mathrm{eV}
(b) 3{,}42\times10^{-19}\\ \mathrm{J} ou 2{,}14\\ \mathrm{eV}

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