( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,0 \mathrm{~m} de comprimento e 250 g de massa. A tensão na corda é 40,0 \mathrm{~N}. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 3,0 \mathrm{~mm} para que potência média seja 120 W ?

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento L=2,0\\ \mathrm{m}, massa m=0,250\\ \mathrm{kg} e tensão T=40,0\\ \mathrm{N}. Nela se propagam ondas progressivas de amplitude A=3,0\\ \mathrm{mm}. Queremos achar a frequência f para que a potência média transportada seja P_{\text{méd}}=120\\ \mathrm{W}é. Para isso precisamos de (i) densidade linear \mu, (ii) velocidade de onda v e (iii) a fórmula da potência média em função de \omega e A.

Passo 2

Calcular a densidade linear \mu da corda, que é a massa por unidade de comprimento:
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0{,}250\\ \mathrm{kg}}{2{,}0\\ \mathrm{m}} = 0{,}125\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Calcular a velocidade v de propagação da onda na corda, dada por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
Substituindo,
v = \sqrt{\frac{40{,}0\\ \mathrm{N}}{0{,}125\\ \mathrm{kg/m}}} = \sqrt{320\\ \mathrm{m^2/s^2}} \approx17{,}89\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A potência média transportada por uma onda senoidal progressiva é
P_{\text{méd}} = \frac12\,\mu\,v\,\omega^2\,A^2,é
onde \omega é a frequência angular e A a amplitude em metros.

Passo 5

Isolando \omega na expressão de P_{\text{méd}}é, temos
\omega^2 = \frac{2\,P_{\text{méd}}}{\mu\,v\,A^2} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{2\,P_{\text{méd}}}{\mu\,v\,A^2}}.éé

Passo 6

Substituindo P_{\text{méd}}=120\\ \mathrm{W}é, \mu=0{,}125\\ \mathrm{kg/m}, v=17{,}89\\ \mathrm{m/s} e A=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
\omega = \sqrt{\frac{2\cdot120}{0{,}125\cdot17{,}89\cdot(3{,}0\times10^{-3})^2}} \approx3454\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência é f=\omega/(2\pi), logo
f \approx \frac{3454}{2\pi}\approx550\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência deve ser aproximadamente 550\\ \mathrm{Hz}.

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