Explique a formulação geral da lei de Ampère. Como aplicação da lei de Ampère, obtenha o campo magnético de um solenoide.

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  1. Explicar a formulação geral da lei de Ampère (ou seja, a forma integral e a forma local/diferencial, incluindo a correção de Maxwell), indicando o que cada termo significa.
  2. Usar a lei de Ampère como aplicação para obter o campo magnético de um solenoide ideal (longo e muito enrolado) e comentar as aproximações feitas.
Informações dadas implicitamente pelo enunciado que vamos usar:
  • Vamos considerar inicialmente correntes estacionárias (regime permanente) e depois a forma geral com variação temporal.
  • Para o solenoide assumimos um solenoide longo, com N espiras distribuídas uniformemente ao longo de comprimento L, corrente I em cada espira, de modo que a densidade de espiras por comprimento é n=\dfrac{N}{L}.
  • O solenoide é estreito (espiras próximas) e longo, de forma que podemos desprezar efeitos de borda e assumir campo interno aproximadamente uniforme e campo externo aproximadamente nulo.

Passo 2

Apresentação da lei de Ampère na sua forma integral (com a correção de Maxwell). A lei integral diz que a circulação do campo magnético \mathbf{B} ao longo de uma curva fechada \mathcal{C} é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica total atravessando uma superfície \mathcal{S} limitada por \mathcal{C}, mais o termo de corrente de deslocamento quando os campos elétricos variam no tempo. Em notação:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}.
Aqui:
  • \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} é a integral de linha de \mathbf{B} ao longo da curva fechada \mathcal{C} (circulação).
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}).
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total que atravessa a superfície \mathcal{S} cuja fronteira é \mathcal{C}.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • \Phi_E=\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} é o fluxo do campo elétrico através de \mathcal{S}.
  • O termo \mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{d\Phi_E}{dt} é chamado de corrente de deslocamento; ele aparece quando \mathbf{E} varia no tempo.
Observação prática: para correntes estacionárias (campos elétricos constantes no tempo), temos \dfrac{d\Phi_E}{dt}=0 e a lei reduz-se à versão clássica:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}.

Passo 3

Passagem para a forma diferencial (local) usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz que
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_{\mathcal{S}} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S}.
Igualando à forma integral da lei de Ampère com a correção de Maxwell:
\iint_{\mathcal{S}} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} = \mu_0 \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d}{dt}\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
Como isso vale para qualquer superfície \mathcal{S}, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto, obtendo-se a forma diferencial (local) da lei:
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Aqui \mathbf{J} é a densidade de corrente (corrente por unidade de área) e \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} é a variação temporal do campo elétrico no ponto considerado. Esta equação é uma das quatro equações de Maxwell e mostra que o rotacional de \mathbf{B} é gerado tanto por correntes reais quanto por variação temporal do campo elétrico (corrente de deslocamento).

Passo 4

Interpretação física do termo de corrente de deslocamento e quando podemos ignorá-lo. O termo \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} é necessário para garantir a consistência com a conservação de carga (equação da continuidade) e resolve contradições que surgem, por exemplo, ao analisar o campo magnético entre as placas de um capacitor durante carga/descarga: há fluxo de \mathbf{E} variável mas nenhuma corrente de cargas atravessando o vazio entre as placas, então a “corrente de deslocamento” atua como fonte de \nabla\times\mathbf{B}. Em regime estacionário (corrente constante no tempo) esse termo é zero e a forma reduzida \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}} é suficiente e muito mais simples de aplicar em problemas como o do solenoide em corrente contínua.

Passo 5

Estratégia prática para usar a lei de Ampère em problemas: escolher uma curva fechada (loop amperiano) que tire proveito das simetrias do problema para simplificar a integral \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}. Critérios úteis:
  • Escolher a curva de modo que \mathbf{B} seja paralelo a trechos do caminho e ortogonal (ou nulo) em outros, para anular contribuições.
  • Em problemas com alta simetria (infinita, cilíndrica, planar) a lei de Ampère permite encontrar \mathbf{B} com cálculos bem simples.
  • Contar corretamente a corrente I_{\text{enc}} que atravessa a superfície delimitada pela curva. Para condutores com múltiplas espiras, multiplicar número de espiras atravessadas pelo valor da corrente em cada uma.
Agora vamos aplicar isso ao solenoide.

Passo 6

Descrição do solenoide e das aproximações que vamos usar. Considere um solenoide longo, com:
  • comprimento L grande comparado ao raio R (aproximação de solenoide longo),
  • N espiras uniformemente distribuídas em L, então densidade de espiras por unidade de comprimento é n=\dfrac{N}{L} (unidades: espiras por metro),
  • cada espira transporta corrente I no mesmo sentido,
  • resultando num campo \mathbf{B} quase uniforme no interior, paralelo ao eixo do solenoide, e fraco fora (desprezível longe do solenoide). Essas são as hipóteses padrão para um “solenoide ideal”.
Nosso objetivo: calcular a intensidade do campo magnético \mathbf{B} no interior (no eixo e região interna) usando Ampère.

Passo 7

Escolha do caminho amperiano e cálculo da circulação. Vamos escolher um caminho retangular \mathcal{C} cujos lados sejam:
  • lado 1: comprimento \ell, paralelo ao eixo do solenoide, dentro do interior do solenoide;
  • lado 2: lado perpendicular que atravessa radialmente para fora (curto, contribuindo pouco);
  • lado 3: comprimento \ell, paralelo ao eixo, localizado fora do solenoide;
  • lado 4: retorno radial de volta ao ponto inicial.
Desenho mental: o retângulo tem duas arestas paralelas ao eixo, uma dentro do solenoide (onde \mathbf{B} tem valor aproximado uniforme e paralelo ao lado) e outra fora (onde \mathbf{B} é aproximadamente zero). Pelas simetrias:
  • Em lados perpendiculares ao eixo temos \mathbf{B}\perp d\boldsymbol{\ell} (ou contributions muito pequenas), portanto suas integrais são nulas ou desprezíveis.
  • No lado dentro do solenoide \mathbf{B} é aproximadamente constante e paralelo a d\boldsymbol{\ell}, então o contributo é B\ell.
  • No lado fora o campo B_{\text{fora}}\approx 0 (por hipótese de solenoide longo), então o contributo é zero.
Portanto a circulação total reduz-se a:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \approx B\,\ell.

Passo 8

Cálculo da corrente atravessada pela superfície associada ao caminho amperiano. Precisamos de I_{\text{enc}}: a corrente total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}. A superfície útil é o retângulo que tem área \ell\times (\text{altura pequena}), e através dela passam as espiras do solenoide que cortam o laço. Contagem simples:
  • Em um comprimento \ell do solenoide existem, em média, n\ell espiras (pois n é espiras por unidade de comprimento).
  • Cada espira transporta corrente I.
  • Logo a corrente total que atravessa a superfície é
I_{\text{enc}} = (n\ell)\,I.
Aqui é importante entender por que contamos n\ell espiras: a superfície que escolhemos intercepta tantas espiras quanto o número de voltas que existem dentro do comprimento \ell.

Passo 9

Aplicando a forma reduzida da lei de Ampère (regime estacionário) e resolvendo para B. Como estamos em regime estacionário, desprezamos o termo de corrente de deslocamento, então:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
B\,\ell = \mu_0 (n\ell) I.
Cancelando \ell (desde que \ell\neq 0):
B = \mu_0 n I.
Portanto, no interior de um solenoide longo e ideal, o campo magnético tem módulo
\boxed{B=\mu_0 n I}
e direção paralela ao eixo do solenoide, seguindo a regra da mão direita em relação à corrente nas espiras.

Passo 10

Comentários, limitações e interpretação física. Pontos importantes que você precisa saber para a prova:
  • A expressão \displaystyle B=\mu_0 n I vale para um solenoide ideal, longo e com espiras encostadas (densidade de espiras uniforme). Em um solenoide real de comprimento finito haverá efeitos de borda: o campo perto das extremidades diminui e fora do solenoide não é exatamente zero.
  • Fora do solenoide longo o campo é muito menor; para cálculos aproximados dizemos B_{\text{fora}}\approx 0. Isso é resultado da superposição dos campos das muitas espiras que se cancelam fora.
  • Se o núcleo do solenoide for um material magnético com permeabilidade relativa \mu_r, a fórmula aproxima-se a \displaystyle B=\mu_0\mu_r n I.
  • Em problemas com campos variando no tempo (por exemplo, corrente alternada, ou capacitor sendo carregado), a forma completa com o termo \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt} deve ser usada; para o solenoide em regime estacionário esse termo é zero.
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): se n=1000\,\text{espiras/m} e I=1\,\mathrm{A},
B=\mu_0 n I \approx 4\pi\times10^{-7}\times 1000 \times 1 \approx 1,26\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.

Resposta

A formulação integral geral da lei de Ampère (com correção de Maxwell) é
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}.
A forma diferencial (local) é
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Para um solenoide longo e ideal (regime estacionário) o campo magnético no interior é
B=\mu_0 n I,
onde n=\dfrac{N}{L} é a densidade de espiras por unidade de comprimento e I é a corrente em cada espira. Fora do solenoide longo, B é aproximadamente 0.

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