Explique a formulação geral da lei de Ampère. Como aplicação da lei de Ampère, obtenha o campo magnético de um solenoide.
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
- Explicar a formulação geral da lei de Ampère (ou seja, a forma integral e a forma local/diferencial, incluindo a correção de Maxwell), indicando o que cada termo significa.
- Usar a lei de Ampère como aplicação para obter o campo magnético de um solenoide ideal (longo e muito enrolado) e comentar as aproximações feitas.
Informações dadas implicitamente pelo enunciado que vamos usar:
- Vamos considerar inicialmente correntes estacionárias (regime permanente) e depois a forma geral com variação temporal.
- Para o solenoide assumimos um solenoide longo, com
espiras distribuídas uniformemente ao longo de comprimento , corrente em cada espira, de modo que a densidade de espiras por comprimento é . - O solenoide é estreito (espiras próximas) e longo, de forma que podemos desprezar efeitos de borda e assumir campo interno aproximadamente uniforme e campo externo aproximadamente nulo.
Passo 2
Apresentação da lei de Ampère na sua forma integral (com a correção de Maxwell). A lei integral diz que a circulação do campo magnético
ao longo de uma curva fechada
é igual a
vezes a corrente elétrica total atravessando uma superfície
limitada por
, mais o termo de corrente de deslocamento quando os campos elétricos variam no tempo. Em notação:
Aqui:
-
é a integral de linha de ao longo da curva fechada (circulação). -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente elétrica total que atravessa a superfície cuja fronteira é . -
é a permissividade do vácuo. -
é o fluxo do campo elétrico através de . - O termo
é chamado de corrente de deslocamento; ele aparece quando varia no tempo.
Observação prática: para correntes estacionárias (campos elétricos constantes no tempo), temos
e a lei reduz-se à versão clássica:
Passo 3
Passagem para a forma diferencial (local) usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz que
Igualando à forma integral da lei de Ampère com a correção de Maxwell:
Como isso vale para qualquer superfície
, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto, obtendo-se a forma diferencial (local) da lei:
Aqui
é a densidade de corrente (corrente por unidade de área) e
é a variação temporal do campo elétrico no ponto considerado. Esta equação é uma das quatro equações de Maxwell e mostra que o rotacional de
é gerado tanto por correntes reais quanto por variação temporal do campo elétrico (corrente de deslocamento).
Passo 4
Interpretação física do termo de corrente de deslocamento e quando podemos ignorá-lo. O termo
é necessário para garantir a consistência com a conservação de carga (equação da continuidade) e resolve contradições que surgem, por exemplo, ao analisar o campo magnético entre as placas de um capacitor durante carga/descarga: há fluxo de
variável mas nenhuma corrente de cargas atravessando o vazio entre as placas, então a “corrente de deslocamento” atua como fonte de
. Em regime estacionário (corrente constante no tempo) esse termo é zero e a forma reduzida
é suficiente e muito mais simples de aplicar em problemas como o do solenoide em corrente contínua.
Passo 5
Estratégia prática para usar a lei de Ampère em problemas: escolher uma curva fechada (loop amperiano) que tire proveito das simetrias do problema para simplificar a integral
. Critérios úteis:
- Escolher a curva de modo que
seja paralelo a trechos do caminho e ortogonal (ou nulo) em outros, para anular contribuições. - Em problemas com alta simetria (infinita, cilíndrica, planar) a lei de Ampère permite encontrar
com cálculos bem simples. - Contar corretamente a corrente
que atravessa a superfície delimitada pela curva. Para condutores com múltiplas espiras, multiplicar número de espiras atravessadas pelo valor da corrente em cada uma.
Agora vamos aplicar isso ao solenoide.
Passo 6
Descrição do solenoide e das aproximações que vamos usar. Considere um solenoide longo, com:
- comprimento
grande comparado ao raio (aproximação de solenoide longo), -
espiras uniformemente distribuídas em , então densidade de espiras por unidade de comprimento é (unidades: espiras por metro), - cada espira transporta corrente
no mesmo sentido, - resultando num campo
quase uniforme no interior, paralelo ao eixo do solenoide, e fraco fora (desprezível longe do solenoide). Essas são as hipóteses padrão para um “solenoide ideal”.
Nosso objetivo: calcular a intensidade do campo magnético
no interior (no eixo e região interna) usando Ampère.
Passo 7
Escolha do caminho amperiano e cálculo da circulação. Vamos escolher um caminho retangular
cujos lados sejam:
- lado 1: comprimento
, paralelo ao eixo do solenoide, dentro do interior do solenoide; - lado 2: lado perpendicular que atravessa radialmente para fora (curto, contribuindo pouco);
- lado 3: comprimento
, paralelo ao eixo, localizado fora do solenoide; - lado 4: retorno radial de volta ao ponto inicial.
Desenho mental: o retângulo tem duas arestas paralelas ao eixo, uma dentro do solenoide (onde
tem valor aproximado uniforme e paralelo ao lado) e outra fora (onde
é aproximadamente zero). Pelas simetrias:
- Em lados perpendiculares ao eixo temos
(ou contributions muito pequenas), portanto suas integrais são nulas ou desprezíveis. - No lado dentro do solenoide
é aproximadamente constante e paralelo a , então o contributo é . - No lado fora o campo
(por hipótese de solenoide longo), então o contributo é zero.
Portanto a circulação total reduz-se a:
Passo 8
Cálculo da corrente atravessada pela superfície associada ao caminho amperiano. Precisamos de
: a corrente total atravessando a superfície limitada por
. A superfície útil é o retângulo que tem área
, e através dela passam as espiras do solenoide que cortam o laço. Contagem simples:
- Em um comprimento
do solenoide existem, em média, espiras (pois é espiras por unidade de comprimento). - Cada espira transporta corrente
. - Logo a corrente total que atravessa a superfície é
Aqui é importante entender por que contamos
espiras: a superfície que escolhemos intercepta tantas espiras quanto o número de voltas que existem dentro do comprimento
.
Passo 9
Aplicando a forma reduzida da lei de Ampère (regime estacionário) e resolvendo para
. Como estamos em regime estacionário, desprezamos o termo de corrente de deslocamento, então:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Cancelando
(desde que
):
Portanto, no interior de um solenoide longo e ideal, o campo magnético tem módulo
e direção paralela ao eixo do solenoide, seguindo a regra da mão direita em relação à corrente nas espiras.
Passo 10
Comentários, limitações e interpretação física. Pontos importantes que você precisa saber para a prova:
- A expressão
vale para um solenoide ideal, longo e com espiras encostadas (densidade de espiras uniforme). Em um solenoide real de comprimento finito haverá efeitos de borda: o campo perto das extremidades diminui e fora do solenoide não é exatamente zero. - Fora do solenoide longo o campo é muito menor; para cálculos aproximados dizemos
. Isso é resultado da superposição dos campos das muitas espiras que se cancelam fora. - Se o núcleo do solenoide for um material magnético com permeabilidade relativa
, a fórmula aproxima-se a . - Em problemas com campos variando no tempo (por exemplo, corrente alternada, ou capacitor sendo carregado), a forma completa com o termo
deve ser usada; para o solenoide em regime estacionário esse termo é zero.
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): se
e
,
Resposta
A formulação integral geral da lei de Ampère (com correção de Maxwell) é
A forma diferencial (local) é
Para um solenoide longo e ideal (regime estacionário) o campo magnético no interior é
onde
é a densidade de espiras por unidade de comprimento e
é a corrente em cada espira. Fora do solenoide longo,
é aproximadamente
.