Obtenha expressões para o campo magnético de uma espira circular e de uma bobina.

Passo 1

O enunciado pede: obter expressões para o campo magnético de (1) uma espira circular e (2) uma bobina.
Informações que vou usar (todas assumidas comuns ao problema):
  • I: corrente elétrica que percorre a espira/bobina.
  • R: raio da espira (e da bobina, se for cilindrica com enrolamento de mesmo raio).
  • Ponto onde queremos o campo: ao longo do eixo da espira/bobina, a uma distância z do centro (eixo simétrico).
  • Para a bobina (enrolamento com N voltas distribuídas uniformemente sobre um comprimento L): número de voltas N, comprimento L e densidade de voltas \,n=\dfrac{N}{L}.
  • \mu_0: permeabilidade do vácuo (constante).
  • Direção: vou considerar o eixo da espira como eixo z e o campo resultante ao longo de \hat{z}.
O que vou fornecer no final: (i) expressão do campo magnético no eixo de uma espira circular; (ii) expressão do campo magnético no eixo de uma bobina de comprimento L e N voltas (solenoide finito), e as formas limite (ex.: solenoide longo).

Passo 2

Ferramenta principal: a Lei de Biot–Savart. Vou explicar bem ela porque é a “fórmula básica” que usamos para calcular campos magnéticos gerados por correntes.
A Lei de Biot–Savart (em forma diferencial) diz que o campo magnético infinitesimal \mathrm{d}\mathbf{B} gerado por um elemento de fio com corrente I e comprimento vetorial \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é
\mathrm{d}\mathbf{B}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\,I\,\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},
onde:
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de fio até o ponto onde calculamos o campo;
  • r=|\mathbf{r}|;
  • \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r} é o versor nessa direção;
  • o produto vetorial \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} dá a direção perpendicular (direção do campo infinitesimal).
Intuição curta: cada pedaço da corrente cria um pequeno \mathrm{d}\mathbf{B} perpendicular ao plano formado por \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}; aí somamos (integral) todas essas contribuições.
Antes de integrar, é importante usar simetria: para uma espira ou bobina com corrente uniforme, todas as componentes radiais (não-paralelas ao eixo) se cancelam por simetria, sobrando apenas a componente ao longo do eixo ( \hat{z}).

Passo 3

Geometria da espira e parametrização (esclarecimento prático para a integral):
  • Considere uma espira circular de raio R no plano xy, centrada na origem.
  • O ponto P onde queremos o campo está sobre o eixo z a uma distância z do centro.
  • Parametrizamos a espira por um ângulo \varphi (ângulo polar no plano da espira). A posição de um elemento de fio é
\mathbf{r}' = R\cos\varphi\,\hat{x} + R\sin\varphi\,\hat{y}.
  • O elemento de comprimento é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = R\,\mathrm{d}\varphi\,(-\sin\varphi\,\hat{x} + \cos\varphi\,\hat{y}).
  • O vetor do elemento até o ponto P é
\mathbf{r}=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}' = z\,\hat{z} - R\cos\varphi\,\hat{x} - R\sin\varphi\,\hat{y}.
  • O módulo desse vetor é
r=\sqrt{R^2+z^2}\quad\text{(note que é independente de }\varphi\text{)}.é
Por simetria, ao calcular \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} e integrar em \varphi de 0 a 2\pi, todas as componentes transversais (em \hat{x},\hat{y}) se cancelam: sobra apenas a componente na direção \hat{z}. Então basta calcular a componente axial \mathrm{d}B_z.

Passo 4

Cálculo explícito da componente axial usando Biot–Savart (espira única):
Aplicando Biot–Savart, o módulo da contribuição axial de um elemento vale
\mathrm{d}B_z = \left(\dfrac{\mu_0}{4\pi}I\right)\dfrac{|\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}|}{r^3}\cos\theta,
mas é mais direto obter \mathrm{d}B_z observando a geometria: o produto vetorial tem magnitude |\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}||\mathbf{r}|\sin\alpha, onde \alpha é o ângulo entre \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}. Pela figura, a componente ao longo de \hat{z} do vetor \mathrm{d}\mathbf{B} é obtida multiplicando-se a magnitude de \mathrm{d}\mathbf{B} por \cos\beta, onde \beta é o ângulo entre \mathbf{r} e o eixo z. Um caminho mais simples, padrão em livros, é:
  1. A magnitude do produto vetorial para o elemento vale
|\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}| = |\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}|\,r_\perp,
onde r_\perp é a componente de \mathbf{r} perpendicular a \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}. No nosso caso r_\perp = R, pois o ponto P está sobre o eixo. Então
|\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}| = R\,|\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}|.
  1. O elemento |\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}| = R\,\mathrm{d}\varphi.
  2. A componente axial (ao longo de \hat{z}) exige multiplicar por \cos\beta, com \cos\beta = \dfrac{z}{r} = \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Assim
\mathrm{d}B_z = \dfrac{\mu_0}{4\pi}I\,\dfrac{R\,|\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}|}{r^3}\cdot\cos\beta = \dfrac{\mu_0}{4\pi}I\,\dfrac{R\cdot R\,\mathrm{d}\varphi}{(R^2+z^2)^{3/2}}\cdot \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}?
(atenção: aqui corrigi o raciocínio para a forma padrão abaixo — a forma final conhecida é mais simples)
O modo mais direto e correto (forma padrão) é escrever a contribuição axial a partir da expressão simplificada conhecida:
Para cada elemento \mathrm{d}\varphi:
\mathrm{d}B_z = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{R^2\,\mathrm{d}\varphi}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
Integrando \varphi de 0 a 2\pi:
B_z(z) = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}B_z = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\cdot 2\pi.
Simplificando:
B_z(z)=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}.
A direção é \hat{z} (seguindo a regra da mão direita com a orientação da corrente). Portanto o campo vetorial no eixo é
\mathbf{B}(z)=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{z}.
Observações rápidas e úteis para prova:
  • No centro da espira ( z=0):
B(0)=\dfrac{\mu_0 I}{2R}.
  • Se a espira tiver N voltas muito próximas (bobina curta ou “múltiplas espiras empilhadas”), basta multiplicar por N:
\mathbf{B}_\text{N voltas}(z)=N\cdot \dfrac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{z}.

Passo 5

Campo de uma bobina (solenoide finito) — método: soma (integração) de espiras
  • Modele a bobina como N voltas uniformemente distribuídas ao longo de um comprimento L, densidade de voltas \,n=\dfrac{N}{L}. Cada pequena fatia de espira em posição z' (medida ao longo do eixo, com origem no centro da bobina) contribui com o campo axial de uma espira localizada em z'.
  • A contribuição diferencial de uma fatia (espira) em z' para o ponto z no eixo é, pela fórmula da espira, com u=z-z':
\mathrm{d}B(z) = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+u^2)^{3/2}} \cdot (\text{número de voltas na fatia}).ú
Se tomamos fatia de espessura \mathrm{d}z', o número de voltas é n\,\mathrm{d}z'. Logo
\mathrm{d}B(z) = \dfrac{\mu_0 I n R^2}{2\,(R^2+(z-z')^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'.
  • Integramos z' de -L/2 até +L/2:
B(z)=\int_{-L/2}^{+L/2}\dfrac{\mu_0 I n R^2}{2\,(R^2+(z-z')^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'.
Agora uma observação de cálculo útil (fórmula integral que simplifica a conta):
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left(\dfrac{u}{\sqrt{R^2+u^2}}\right) = \dfrac{R^2}{(R^2+u^2)^{3/2}}.
Isso é perfeito, porque a integranda tem a forma R^2/(R^2+u^2)^{3/2}. Então podemos fazer a substituição u=z-z' e aplicar a primitivação direta.
Fazendo isso:
B(z)=\dfrac{\mu_0 I n}{2}\int_{-L/2}^{+L/2}\dfrac{R^2}{(R^2+(z-z')^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}z' =\dfrac{\mu_0 I n}{2}\left[\dfrac{u}{\sqrt{R^2+u^2}}\right]_{u=z+L/2}^{u=z-L/2}.
Atenção aos sinais na substituição (quando z'=-L/2 temos u=z-(-L/2)=z+L/2, etc.). Aplicando os limites:
B(z)=\dfrac{\mu_0 I n}{2}\left(\dfrac{z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}} - \dfrac{z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}\right).
Direção: \hat{z}. Substituindo n=\dfrac{N}{L} se preferir a forma com N e L.
Formas limite importantes (para prova e intuição):
  • No centro da bobina z=0:
B(0)=\dfrac{\mu_0 I n}{2}\left(\dfrac{L/2}{\sqrt{R^2+(L/2)^2}} - \dfrac{-L/2}{\sqrt{R^2+(L/2)^2}}\right) = \dfrac{\mu_0 I n\,L}{2\sqrt{R^2+(L/2)^2}} = \dfrac{\mu_0 N I}{2\sqrt{R^2+(L/2)^2}}.
  • Limite de bobina muito longa ( L\gg R ou L\to\infty mantendo n fixo): as contribuições das extremidades vão a valores que tornam
B \to \mu_0 n I
no interior (campo aproximadamente uniforme dentro do solenoide). Essa é a expressão clássica para um solenoide longo.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}_\text{espira}(z)=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{z}.\n \displaystyle \mathbf{B}_\text{bobina (comprimento\;L,\;densidade\;n=N/L)}(z)=\dfrac{\mu_0 I n}{2}\!\left(\dfrac{z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}-\dfrac{z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}\right)\!\hat{z}.

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