Obtenha expressões para o campo magnético de uma espira circular e de uma bobina.
Passo 1
O enunciado pede: obter expressões para o campo magnético de (1) uma espira circular e (2) uma bobina.
Informações que vou usar (todas assumidas comuns ao problema):
Informações que vou usar (todas assumidas comuns ao problema):
-
: corrente elétrica que percorre a espira/bobina. -
: raio da espira (e da bobina, se for cilindrica com enrolamento de mesmo raio). - Ponto onde queremos o campo: ao longo do eixo da espira/bobina, a uma distância
do centro (eixo simétrico). - Para a bobina (enrolamento com
voltas distribuídas uniformemente sobre um comprimento ): número de voltas , comprimento e densidade de voltas . -
: permeabilidade do vácuo (constante). - Direção: vou considerar o eixo da espira como eixo
e o campo resultante ao longo de .
O que vou fornecer no final: (i) expressão do campo magnético no eixo de uma espira circular; (ii) expressão do campo magnético no eixo de uma bobina de comprimento
e
voltas (solenoide finito), e as formas limite (ex.: solenoide longo).
Passo 2
Ferramenta principal: a Lei de Biot–Savart. Vou explicar bem ela porque é a “fórmula básica” que usamos para calcular campos magnéticos gerados por correntes.
A Lei de Biot–Savart (em forma diferencial) diz que o campo magnético infinitesimal
gerado por um elemento de fio com corrente
e comprimento vetorial
é
onde:
-
é o vetor que vai do elemento de fio até o ponto onde calculamos o campo; -
; -
é o versor nessa direção; - o produto vetorial
dá a direção perpendicular (direção do campo infinitesimal).
Intuição curta: cada pedaço da corrente cria um pequeno
perpendicular ao plano formado por
e
; aí somamos (integral) todas essas contribuições.
Antes de integrar, é importante usar simetria: para uma espira ou bobina com corrente uniforme, todas as componentes radiais (não-paralelas ao eixo) se cancelam por simetria, sobrando apenas a componente ao longo do eixo (
).
Passo 3
Geometria da espira e parametrização (esclarecimento prático para a integral):
- Considere uma espira circular de raio
no plano , centrada na origem. - O ponto
onde queremos o campo está sobre o eixo a uma distância do centro. - Parametrizamos a espira por um ângulo
(ângulo polar no plano da espira). A posição de um elemento de fio é
- O elemento de comprimento é
- O vetor do elemento até o ponto
é
- O módulo desse vetor é
Por simetria, ao calcular
e integrar em
de
a
, todas as componentes transversais (em
) se cancelam: sobra apenas a componente na direção
. Então basta calcular a componente axial
.
Passo 4
Cálculo explícito da componente axial usando Biot–Savart (espira única):
Aplicando Biot–Savart, o módulo da contribuição axial de um elemento vale
mas é mais direto obter
observando a geometria: o produto vetorial tem magnitude
, onde
é o ângulo entre
e
. Pela figura, a componente ao longo de
do vetor
é obtida multiplicando-se a magnitude de
por
, onde
é o ângulo entre
e o eixo
. Um caminho mais simples, padrão em livros, é:
- A magnitude do produto vetorial para o elemento vale
onde
é a componente de
perpendicular a
. No nosso caso
, pois o ponto
está sobre o eixo. Então
- O elemento
. - A componente axial (ao longo de
) exige multiplicar por , com .
Assim
(atenção: aqui corrigi o raciocínio para a forma padrão abaixo — a forma final conhecida é mais simples)
O modo mais direto e correto (forma padrão) é escrever a contribuição axial a partir da expressão simplificada conhecida:
Para cada elemento
:
Integrando
de
a
:
Simplificando:
A direção é
(seguindo a regra da mão direita com a orientação da corrente). Portanto o campo vetorial no eixo é
Observações rápidas e úteis para prova:
- No centro da espira (
):
- Se a espira tiver
voltas muito próximas (bobina curta ou “múltiplas espiras empilhadas”), basta multiplicar por :
Passo 5
Campo de uma bobina (solenoide finito) — método: soma (integração) de espiras
- Modele a bobina como
voltas uniformemente distribuídas ao longo de um comprimento , densidade de voltas . Cada pequena fatia de espira em posição (medida ao longo do eixo, com origem no centro da bobina) contribui com o campo axial de uma espira localizada em . - A contribuição diferencial de uma fatia (espira) em
para o ponto no eixo é, pela fórmula da espira, com :
Se tomamos fatia de espessura
, o número de voltas é
. Logo
- Integramos
de até :
Agora uma observação de cálculo útil (fórmula integral que simplifica a conta):
Isso é perfeito, porque a integranda tem a forma
. Então podemos fazer a substituição
e aplicar a primitivação direta.
Fazendo isso:
Atenção aos sinais na substituição (quando
temos
, etc.). Aplicando os limites:
Direção:
. Substituindo
se preferir a forma com
e
.
Formas limite importantes (para prova e intuição):
- No centro da bobina
:
- Limite de bobina muito longa (
ou mantendo fixo): as contribuições das extremidades vão a valores que tornam
no interior (campo aproximadamente uniforme dentro do solenoide). Essa é a expressão clássica para um solenoide longo.