Questão 3: A frota de veículos automotores aumentou significativamente em todas as cidades do Brasil. Esse aumento desordenado, a falta de planejamento das cidades e a imprudência são as causas do aumento de acidentes entre veículos. Considere a seguinte situação: um carro com massa de 2500 kg que se deslocava de oeste para leste colide com um caminhão de pequeno porte cuja massa é 7000 kg . O caminhão se deslocava de sul para o norte e avançou o sinal vermelho. Por causa disso, os dois veículos colidiram e ficaram “engavetados”. A velocidade após a colisão foi de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção de 30^{\circ} (nordeste). Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Desconsidere o atrito.

Passo 1

O enunciado fornece uma colisão entre dois veículos que ficam engavetados (movem-se juntos após a colisão) e pede o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Dados fornecidos e perguntas claras:
  • Massa do carro: m_c = 2500\\ \mathrm{kg}.
  • Direção do carro antes da colisão: de oeste para leste (ou seja, direção positiva x).
  • Massa do caminhão: m_t = 7000\\ \mathrm{kg}.
  • Direção do caminhão antes da colisão: de sul para norte (ou seja, direção positiva y).
  • Depois da colisão ambos se movem juntos com velocidade de módulo 10\\ \mathrm{m/s} na direção de 30^\circ rumo ao nordeste (isto é, 30^\circ acima da direção leste).
  • Desconsiderar atrito (logo, podemos considerar o sistema isolado nas direções x e y).
Pergunta a responder (uma única pergunta com duas sub-respostas):
  • Calcular o módulo da velocidade do carro antes da colisão.
  • Calcular o módulo da velocidade do caminhão antes da colisão.

Passo 2

Princípio físico que será usado (explicado de forma simples):
A quantidade de movimento (momento linear) de um objeto é definida por \vec{p} = m\vec{v}, onde:
  • m é a massa do objeto (em kg),
  • \vec{v} é o vetor velocidade (em m/s),
  • \vec{p} tem unidades \mathrm{kg\cdot m/s}.
Em colisões sem forças externas significativas (aqui desconsideramos atrito e forças externas horizontais/verticais), o momento total do sistema é conservado. Isso quer dizer que a soma vetorial dos momentos antes da colisão é igual à soma vetorial dos momentos depois da colisão.
Como os movimentos iniciais são ortogonais (um no eixo x, outro no eixo y) e o final tem componentes em x e y, é muito conveniente aplicar conservação do momento separadamente nas componentes x e y.
Vou chamar:
  • v_c = módulo da velocidade do carro antes da colisão (direção +x),
  • v_t = módulo da velocidade do caminhão antes da colisão (direção +y),
  • \vec{V} = velocidade comum após a colisão, com componente V_x em x e V_y em y.
As equações de conservação serão:
m_c v_c = (m_c + m_t) V_x
m_t v_t = (m_c + m_t) V_y
Pois inicialmente o carro tem momento apenas em x e o caminhão apenas em y.

Passo 3

Calcular as componentes da velocidade final \vec{V}. O enunciado deu o módulo 10\\ \mathrm{m/s} e a direção 30^\circ acima do leste.
As componentes são:
V_x = 10\cos 30^\circ
V_y = 10\sin 30^\circ
Lembrando valores trigonométricos básicos:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
Portanto:
V_x = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}
V_y = 10\cdot\frac{1}{2} = 5\\ \mathrm{m/s}

Passo 4

Escrever explicitamente as equações de conservação do momento nas componentes x e y, substituindo V_x e V_y:
Com massa total m_c+m_t = 2500 + 7000 = 9500\\ \mathrm{kg}, temos:
Equação em x:
m_c v_c = (m_c + m_t) V_x
Equação em y:
m_t v_t = (m_c + m_t) V_y
Agora vamos isolar v_c e v_t.

Passo 5

Resolver para v_c (velocidade do carro):
Isolando v_c na equação de x:
v_c = \frac{(m_c + m_t) V_x}{m_c}.
Substituindo números e o valor exato de V_x:
v_c = \frac{9500 \cdot 5\sqrt{3}}{2500}.
Fazendo simplificação passo a passo:
\frac{9500}{2500} = 3{,}8,
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v_c = 3{,}8 \cdot 5\sqrt{3} = 19\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
Avaliação numérica:
\sqrt{3}\approx 1{,}73205\quad\Rightarrow\quad v_c \approx 19\cdot 1{,}73205 \approx 32{,}908\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v_c \approx 32{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resolver para v_t (velocidade do caminhão):
Isolando v_t na equação de y:
v_t = \frac{(m_c + m_t) V_y}{m_t}.
Substituindo números e V_y=5\\ \mathrm{m/s}:
v_t = \frac{9500 \cdot 5}{7000}.
Fazendo simplificação passo a passo:
\frac{9500}{7000} = \frac{95}{70} = \frac{19}{14} \approx 1{,}357142857,
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v_t = \frac{19}{14}\cdot 5 = \frac{95}{14}\\ \mathrm{m/s}.
Avaliação numérica:
v_t \approx 6{,}7857142857\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v_t \approx 6{,}79\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida (checar que as componentes do momento inicial igualam as finais):
Momento inicial em x: p_{x,i} = m_c v_c \approx 2500\cdot 32{,}908 \approx 82{,}269\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momento final em x: (m_c+m_t) V_x = 9500\cdot 8{,}660254 \approx 82{,}272\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(pequima diferença de arredondamento; teoricamente são iguais.)
Momento inicial em y: p_{y,i} = m_t v_t \approx 7000\cdot 6{,}785714 \approx 47{,}500\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momento final em y: (m_c+m_t) V_y = 9500\cdot 5 = 47{,}500\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
A verificação confirma consistência.

Resposta

v_c = 19\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 32,9\\ \mathrm{m/s}
v_t = \dfrac{95}{14}\\ \mathrm{m/s}\approx 6,79\\ \mathrm{m/s}

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