Questão 3: A frota de veículos automotores aumentou significativamente em todas as cidades do Brasil. Esse aumento desordenado, a falta de planejamento das cidades e a imprudência são as causas do aumento de acidentes entre veículos. Considere a seguinte situação: um carro com massa de 2500 kg que se deslocava de oeste para leste colide com um caminhão de pequeno porte cuja massa é 7000 kg . O caminhão se deslocava de sul para o norte e avançou o sinal vermelho. Por causa disso, os dois veículos colidiram e ficaram “engavetados”. A velocidade após a colisão foi de
na direção de
(nordeste). Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Desconsidere o atrito.
Passo 1
O enunciado fornece uma colisão entre dois veículos que ficam engavetados (movem-se juntos após a colisão) e pede o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Dados fornecidos e perguntas claras:
- Massa do carro:
. - Direção do carro antes da colisão: de oeste para leste (ou seja, direção positiva
). - Massa do caminhão:
. - Direção do caminhão antes da colisão: de sul para norte (ou seja, direção positiva
). - Depois da colisão ambos se movem juntos com velocidade de módulo
na direção de rumo ao nordeste (isto é, acima da direção leste). - Desconsiderar atrito (logo, podemos considerar o sistema isolado nas direções
e ).
Pergunta a responder (uma única pergunta com duas sub-respostas):
- Calcular o módulo da velocidade do carro antes da colisão.
- Calcular o módulo da velocidade do caminhão antes da colisão.
Passo 2
Princípio físico que será usado (explicado de forma simples):
A quantidade de movimento (momento linear) de um objeto é definida por
, onde:
-
é a massa do objeto (em kg), -
é o vetor velocidade (em m/s), -
tem unidades .
Em colisões sem forças externas significativas (aqui desconsideramos atrito e forças externas horizontais/verticais), o momento total do sistema é conservado. Isso quer dizer que a soma vetorial dos momentos antes da colisão é igual à soma vetorial dos momentos depois da colisão.
Como os movimentos iniciais são ortogonais (um no eixo
, outro no eixo
) e o final tem componentes em
e
, é muito conveniente aplicar conservação do momento separadamente nas componentes
e
.
Vou chamar:
-
= módulo da velocidade do carro antes da colisão (direção ), -
= módulo da velocidade do caminhão antes da colisão (direção ), -
= velocidade comum após a colisão, com componente em e em .
As equações de conservação serão:
Pois inicialmente o carro tem momento apenas em
e o caminhão apenas em
.
Passo 3
Calcular as componentes da velocidade final
. O enunciado deu o módulo
e a direção
acima do leste.
As componentes são:
Lembrando valores trigonométricos básicos:
Portanto:
Passo 4
Escrever explicitamente as equações de conservação do momento nas componentes
e
, substituindo
e
:
Com massa total
, temos:
Equação em
:
Equação em
:
Agora vamos isolar
e
.
Passo 5
Resolver para
(velocidade do carro):
Isolando
na equação de
:
Substituindo números e o valor exato de
:
Fazendo simplificação passo a passo:
logo
Avaliação numérica:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 6
Resolver para
(velocidade do caminhão):
Isolando
na equação de
:
Substituindo números e
:
Fazendo simplificação passo a passo:
logo
Avaliação numérica:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Verificação rápida (checar que as componentes do momento inicial igualam as finais):
Momento inicial em
:
Momento final em :
(pequima diferença de arredondamento; teoricamente são iguais.)
Momento final em
(pequima diferença de arredondamento; teoricamente são iguais.)
Momento inicial em
:
Momento final em :
Momento final em
A verificação confirma consistência.