Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
11. f(x, y) = 1 + x ln(x y - 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos entender por que ela é diferenciável num certo ponto. Depois, vamos achar a linearização dessa função nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a ideia de aproximação linear de funções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e garantir que elas existam e sejam contínuas no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, para a função ser diferenciável no ponto dado, as derivadas parciais em relação a e precisam existir e serem contínuas nesse ponto. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas derivadas são contínuas no ponto dado e se (porque o logaritmo só está definido para argumentos positivos). Se todas essas condições forem atendidas, a função é diferenciável no ponto.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a linearização da função no ponto . A fórmula geral da linearização é:

Resposta

A função é diferenciável no ponto dado porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, desde que . A linearização da função nesse ponto é:

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