Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos entender por que ela é diferenciável num certo ponto. Depois, vamos achar a linearização dessa função nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a ideia de aproximação linear de funções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e garantir que elas existam e sejam contínuas no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, para a função ser diferenciável no ponto dado, as derivadas parciais em relação a
e
precisam existir e serem contínuas nesse ponto. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas derivadas são contínuas no ponto dado e se
(porque o logaritmo só está definido para argumentos positivos). Se todas essas condições forem atendidas, a função
é diferenciável no ponto.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a linearização
da função no ponto
. A fórmula geral da linearização é:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto dado porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, desde que
. A linearização da função nesse ponto é: