Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x^2-1 & se & x <= 0 2 x & se & 0= 2
f é contínua em x=0 ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a função é contínua em . A função é definida de forma diferente em vários intervalos de . Para verificar a continuidade em , vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para f(x) = x^2 - 1 & se x <= 0 2x & se 0 < x < 1 1 & se x =1 -2x +4 & se 1 < x <2 0 & se x >=2 .
1. f(0) = 0^2 - 1 = -1 está definida?
Sim, olhando a definição da função:
Para , usamos :
Então, está definida e vale .

Passo 4

2. O limite de limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1 quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (2x) = 2 times 0 = 0 se aproxima de existe?
Precisamos calcular dois limites:
  • Limite pela esquerda ( se aproximando de 0 pelos valores menores que 0):
  • Limite pela direita ( se aproximando de 0 pelos valores maiores que 0):
Como os dois limites não são iguais ( ), o limite geral não existe.

Passo 5

3. O limite de limx to 0^- f(x) = -1 limx to 0^+ f(x) = 0 f(0) = -1 é igual a ?
Já vimos que:
Como o limite geral não existe (limites laterais diferentes), ele não pode ser igual a .

Resposta

A função não é contínua em , pois os limites laterais são diferentes e não coincidem com .

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