Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) explicar por que
é diferenciável no ponto
e (b) encontrar a linearização
nesse ponto.
O conteúdo necessário é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização de uma função de duas variáveis.
O conteúdo necessário é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Para mostrar que
é diferenciável basta observar que
é composição de funções elementares suaves: a função
é polinomial (logo
) e a exponencial é
. Portanto as derivadas parciais
existem em todo
e são contínuas. Pelo teorema que diz “se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto, então a função é diferenciável ali”, segue que
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais e os seus valores em
:
Em
temos
Passo 4
A linearização de
em
é dada por
Substituindo os valores encontrados: