Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=e^-x y, (0,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^-x y
e pede (a) explicar por que f é diferenciável no ponto (0,1) e (b) encontrar a linearização L(x,y) nesse ponto.
O conteúdo necessário é o critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para mostrar que f é diferenciável basta observar que f é composição de funções elementares suaves: a função (x,y)mapsto -x y é polinomial (logo C^infty) e a exponencial é C^infty. Portanto as derivadas parciais
partial fpartial x(x,y) e partial fpartial y(x,y)
existem em todo R^2 e são contínuas. Pelo teorema que diz “se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto, então a função é diferenciável ali”, segue que f é diferenciável em (0,1).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais e os seus valores em (0,1):
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(e^-x yr) =-y,e^-x y,
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(e^-x yr) =-x,e^-x y
Em (0,1) temos
f(0,1)=e^0=1, partial fpartial x(0,1)=-1cdot e^0=-1, partial fpartial y(0,1)=0cdot e^0=0

Passo 4

A linearização de f em (a,b)=(0,1) é dada por
L(x,y) = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)
Substituindo os valores encontrados:
L(x,y) =1 + (-1),(x-0) + 0,(y-1) =1 - x

Resposta

L(x,y)=1 - x

Exercícios relacionados