Questão 4 [ \mathbf{3 , 0} pontos] Estude o sinal da expressão \frac{x^{5}-9 x}{1-|x|}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sinal da função
f(x)=\frac{x^{5}-9x}{1-|x|},
isto é, determinar em quais valores de x ela é positiva, negativa, zero ou não está definida. Para isso, precisamos
  1. encontrar o domínio de f;
  2. fatorar o numerador e achar suas raízes e sinais;
  3. estudar o sinal do denominador;
  4. combinar esses sinais para obter o sinal de f(x).

Passo 2

O denominador é 1-|x|. Para que f(x) exista, é necessário
1-|x|\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad |x|\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1,\;x\neq 1.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.

Passo 3

O numerador é
x^{5}-9x = x\bigl(x^{4}-9\bigr) = x\bigl(x^{2}-3\bigr)\bigl(x^{2}+3\bigr).
As raízes são x=0 e x^{2}-3=0, isto é, x=\pm\sqrt{3}. Como x^{2}+3>0 para todo x, o sinal de x^{5}-9x vem de x e de x^{2}-3:
para x<- \sqrt{3}, x<0 e x^{2}>3 ⇒ numerador <0;
para -\sqrt{3}<x<0, x<0 e x^{2}<3 ⇒ numerador >0;
para 0<x<\sqrt{3}, x>0 e x^{2}<3 ⇒ numerador <0;
para x>\sqrt{3}, x>0 e x^{2}>3 ⇒ numerador >0.

Passo 4

O denominador 1-|x| é positivo quando |x|<1 (ou seja, x\in(-1,1)) e negativo quando |x|>1 (isto é, x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)).

Passo 5

Agora combinamos sinais nos intervalos determinados pelos pontos -\infty, -\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}, +\infty:
para x\in(-\infty,-\sqrt{3}): numerador <0, denominador < 0\Rightarrow f(x)>0;
para x\in(-\sqrt{3},-1): numerador >0, denominador < 0\Rightarrow f(x)<0;
para x\in(-1,0): numerador >0, denominador > 0\Rightarrow f(x)>0;
para x\in(0,1): numerador <0, denominador > 0\Rightarrow f(x)<0;
para x\in(1,\sqrt{3}): numerador <0, denominador < 0\Rightarrow f(x)>0;
para x\in(\sqrt{3},\infty): numerador >0, denominador < 0\Rightarrow f(x)<0.

Resposta

\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}-9x}{1-|x|}>0 para
x\in(-\infty,-\sqrt{3})\;\cup\;(-1,0)\;\cup\;(1,\sqrt{3}). \displaystyle f(x)=0 em
x=-\sqrt{3},\;x=0,\;x=\sqrt{3}. \displaystyle f(x)<0 para
x\in(-\sqrt{3},-1)\;\cup\;(0,1)\;\cup\;(\sqrt{3},\infty).
A função não está definida em x=\pm1.

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