Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização (L(x, y)) da função naquele ponto.
(f(x, y)=x^{3} y^{4},
(2,1)
(f(x, y)=x^{3} y^{4},
(2,1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a função é diferenciável no ponto dado e (2) encontrar a linearização
da função nesse ponto.
Informações dadas: a função é e o ponto é
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
O que significa “diferenciável” aqui (explicação didática): ser diferenciável em
quer dizer que existe uma boa aproximação linear de
perto de
. Mais precisamente, existe uma função linear (o diferencial) dada por
tal que o erro entre
e essa aproximação é muito pequeno quando
fica muito próximo de
— formalmente o resto é
. Uma condição prática muito usada na prova é: se as derivadas parciais
e
existem numa vizinhança de
e são contínuas nessa vizinhança, então
é diferenciável em
. Vou usar essa condição porque é simples e aplicável aqui.
Passo 3
Como calculamos as derivadas parciais? Regra prática: para
derivamos a função em relação a
tratando
como constante; para
derivamos em relação a
tratando
como constante. A função é um monômio em potências de
e
, então aplicamos a regra do poder (
).
Calcule
:
trata-se como constante, então
trata-se
Derivando em relação a
,
(Explicando: multipliquei a constante
pela derivada de
, que é
.)
Passo 4
Agora calcule
:
trata-se como constante, então
trata-se
Derivando em relação a
,
(Explicando:
é constante ao derivar em
, e a derivada de
é
.)
Passo 5
Avalie
e as derivadas parciais no ponto
. Primeiro
:
Agora
:
E
:
Passo 6
Por que isso garante diferenciabilidade? Observação importante:
é um polinômio em
e
. As derivadas parciais que calculamos (
e
) são também polinômios, e polinômios são funções contínuas em toda a parte. Então as derivadas parciais existem numa vizinhança de
e são contínuas nessa vizinhança. Pela condição prática citada no Passo 2, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 7
Construção da linearização (a “reta tangente” em duas variáveis): a fórmula da linearização de
em
é
Aplicando os valores que achamos em
,
Se preferir, essa expressão pode ser simplificada:
Ambas as formas representam a mesma aproximação linear de
perto de
.
Resposta
A função é diferenciável em
.