Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização (L(x, y)) da função naquele ponto.
(f(x, y)=x^{3} y^{4},
(2,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a função é diferenciável no ponto dado e (2) encontrar a linearização L(x,y) da função nesse ponto.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x,y)=x^{3}y^{4} e o ponto é (2,1).

Passo 2

O que significa “diferenciável” aqui (explicação didática): ser diferenciável em (a,b) quer dizer que existe uma boa aproximação linear de f perto de (a,b). Mais precisamente, existe uma função linear (o diferencial) dada por
(x,y)\mapsto f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)
tal que o erro entre f(x,y) e essa aproximação é muito pequeno quando (x,y) fica muito próximo de (a,b) — formalmente o resto é o(\|(x-a,y-b)\|). Uma condição prática muito usada na prova é: se as derivadas parciais f_x e f_y existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas nessa vizinhança, então f é diferenciável em (a,b). Vou usar essa condição porque é simples e aplicável aqui.

Passo 3

Como calculamos as derivadas parciais? Regra prática: para f_x derivamos a função em relação a x tratando y como constante; para f_y derivamos em relação a y tratando x como constante. A função é um monômio em potências de x e y, então aplicamos a regra do poder ( d/dx\; x^n = nx^{n-1}).
Calcule f_x(x,y):
trata-se y como constante, então
f(x,y)=x^{3}y^{4} = y^{4}\cdot x^{3}.
Derivando em relação a x,
f_x(x,y)=y^{4}\cdot \frac{d}{dx}(x^{3})=y^{4}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y^{4}.
(Explicando: multipliquei a constante y^4 pela derivada de x^3, que é 3x^2.)

Passo 4

Agora calcule f_y(x,y):
trata-se x como constante, então
f(x,y)=x^{3}y^{4} = x^{3}\cdot y^{4}.
Derivando em relação a y,
f_y(x,y)=x^{3}\cdot \frac{d}{dy}(y^{4})=x^{3}\cdot 4y^{3}=4x^{3}y^{3}.
(Explicando: x^3 é constante ao derivar em y, e a derivada de y^4 é 4y^3.)

Passo 5

Avalie f e as derivadas parciais no ponto (2,1). Primeiro f(2,1):
f(2,1)=2^{3}\cdot 1^{4}=8\cdot 1=8.
Agora f_x(2,1):
f_x(2,1)=3\cdot 2^{2}\cdot 1^{4}=3\cdot 4\cdot 1=12.
E f_y(2,1):
f_y(2,1)=4\cdot 2^{3}\cdot 1^{3}=4\cdot 8\cdot 1=32.

Passo 6

Por que isso garante diferenciabilidade? Observação importante: f é um polinômio em x e y. As derivadas parciais que calculamos ( 3x^{2}y^{4} e 4x^{3}y^{3}) são também polinômios, e polinômios são funções contínuas em toda a parte. Então as derivadas parciais existem numa vizinhança de (2,1) e são contínuas nessa vizinhança. Pela condição prática citada no Passo 2, concluímos que f é diferenciável em (2,1).

Passo 7

Construção da linearização (a “reta tangente” em duas variáveis): a fórmula da linearização de f em (a,b) é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).
Aplicando os valores que achamos em (a,b)=(2,1),
L(x,y)=8+12(x-2)+32(y-1).
Se preferir, essa expressão pode ser simplificada:
L(x,y)=8+12x-24+32y-32=12x+32y-48.
Ambas as formas representam a mesma aproximação linear de f perto de (2,1).

Resposta

A função é diferenciável em (2,1).
L(x,y)=8+12(x-2)+32(y-1)=12x+32y-48

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