Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização (L(x, y)) da função naquele ponto.
(f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}},
(\pi, 0)
(f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}},
(\pi, 0)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a função é diferenciável no ponto dado e (2) encontrar a linearização
nesse ponto.
As informações dadas são: a função
As informações dadas são: a função
e o ponto
.
Também temos implicitamente que a função só faz sentido onde o argumento da raiz é não negativo, ou seja onde .
Também temos implicitamente que a função só faz sentido onde o argumento da raiz é não negativo, ou seja onde
Passo 2
Verifico primeiro que o ponto está no domínio da função. Calculo o argumento da raiz em
:
Logo
pertence ao domínio e
está bem definido. O valor da função no ponto é
Passo 3
Vou explicar o que significa “função diferenciável” aqui, de um jeito prático: diferenciável em um ponto quer dizer que a função pode ser bem aproximada por uma função linear (plano tangente) perto daquele ponto. Mais formalmente, se existem derivadas parciais
e
em um ponto e elas são contínuas numa vizinhança desse ponto, então a função é diferenciável ali — esse é um teorema padrão e muito usado em prova. Em linguagem de prova rápida: existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade.
Passo 4
Para aplicar o critério acima eu preciso calcular as derivadas parciais de
. Escrevo
como composição de funções mais simples:
onde
e
. Ambas são funções suaves (infinitamente diferenciáveis) em seus domínios:
é soma de funções exponencial e identidade,
é a potência
definida para
. Pela regra da cadeia, as derivadas parciais são obtidas diferenciando
em função de
e multiplicando pela derivada de
em relação a
ou
.
Passo 5
Calculo
passo a passo usando a regra da cadeia. Primeiro
. Como
, temos
Agora
:
. Então
Aqui cada passo é apenas aplicação da regra da cadeia: derivada da raiz vezes derivada interna.
Passo 6
Avalio as derivadas parciais em
. Como
e
no ponto, obtemos
Passo 7
Argumento a diferenciabilidade: as fórmulas para
e
que encontrei são funções compostas de soma, exponencial e potência com expoente
. Todas essas operações produzem funções contínuas numa vizinhança do ponto
(porque ali
). Portanto
e
são contínuas numa vizinhança de
. Pelo teorema mencionado no Passo 3, isso implica que
é diferenciável em
. Em palavras: como é composição de funções suaves e o argumento da raiz não é zero nem negativo no ponto, tudo é bonitinho e diferenciável.
Passo 8
Agora encontro a linearização (aproximação linear, plano tangente) em
. A fórmula geral da linearização de
em
é
Aqui
. Substituo os valores já calculados.
Passo 9
Substituindo
,
e
na fórmula da linearização, obtém-se
Pronto — essa é a expressão do plano tangente que aproxima
perto de
.
Passo 10
Dica prática rápida: para aproximar um valor como
você pode usar
com
e
(porque
). A linearização dá uma aproximação rápida sem calculadora. Vai dar mais ou menos a mesma ordem de grandeza — é por aí que se usa isso na prova.
Resposta
A função é diferenciável em
.