Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização (L(x, y)) da função naquele ponto.
(f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}},
(\pi, 0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a função é diferenciável no ponto dado e (2) encontrar a linearização L(x,y) nesse ponto.
As informações dadas são: a função
f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}
e o ponto (\pi,0).
Também temos implicitamente que a função só faz sentido onde o argumento da raiz é não negativo, ou seja onde x+e^{4y}\ge 0.

Passo 2

Verifico primeiro que o ponto está no domínio da função. Calculo o argumento da raiz em (\pi,0):
\pi+e^{4\cdot 0}=\pi+1>0.
Logo (\pi,0) pertence ao domínio e f(\pi,0) está bem definido. O valor da função no ponto é
f(\pi,0)=\sqrt{\pi+1}.

Passo 3

Vou explicar o que significa “função diferenciável” aqui, de um jeito prático: diferenciável em um ponto quer dizer que a função pode ser bem aproximada por uma função linear (plano tangente) perto daquele ponto. Mais formalmente, se existem derivadas parciais f_x e f_y em um ponto e elas são contínuas numa vizinhança desse ponto, então a função é diferenciável ali — esse é um teorema padrão e muito usado em prova. Em linguagem de prova rápida: existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade.

Passo 4

Para aplicar o critério acima eu preciso calcular as derivadas parciais de f. Escrevo f como composição de funções mais simples:
f(x,y) = g(h(x,y)),
onde h(x,y)=x+e^{4y} e g(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}. Ambas são funções suaves (infinitamente diferenciáveis) em seus domínios: h é soma de funções exponencial e identidade, g é a potência t^{1/2} definida para t>0. Pela regra da cadeia, as derivadas parciais são obtidas diferenciando g em função de t e multiplicando pela derivada de h em relação a x ou y.

Passo 5

Calculo f_x passo a passo usando a regra da cadeia. Primeiro g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Como \partial h/\partial x = 1, temos
f_x(x,y)=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{1}{2}\big(x+e^{4y}\big)^{-1/2}\cdot 1=\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}}.
Agora f_y: \partial h/\partial y = \dfrac{d}{dy}e^{4y}=4e^{4y}. Então
f_y(x,y)=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{1}{2}\big(x+e^{4y}\big)^{-1/2}\cdot 4e^{4y}=\frac{2e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}.
Aqui cada passo é apenas aplicação da regra da cadeia: derivada da raiz vezes derivada interna.

Passo 6

Avalio as derivadas parciais em (\pi,0). Como e^{4\cdot 0}=1 e x+e^{4y}=\pi+1 no ponto, obtemos
f_x(\pi,0)=\frac{1}{2\sqrt{\pi+1}} \qquad\text{e}\qquad f_y(\pi,0)=\frac{2\cdot 1}{\sqrt{\pi+1}}=\frac{2}{\sqrt{\pi+1}}.

Passo 7

Argumento a diferenciabilidade: as fórmulas para f_x e f_y que encontrei são funções compostas de soma, exponencial e potência com expoente -1/2. Todas essas operações produzem funções contínuas numa vizinhança do ponto (\pi,0) (porque ali x+e^{4y}>\!0). Portanto f_x e f_y são contínuas numa vizinhança de (\pi,0). Pelo teorema mencionado no Passo 3, isso implica que f é diferenciável em (\pi,0). Em palavras: como é composição de funções suaves e o argumento da raiz não é zero nem negativo no ponto, tudo é bonitinho e diferenciável.

Passo 8

Agora encontro a linearização (aproximação linear, plano tangente) em (\pi,0). A fórmula geral da linearização de f em (a,b) é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui (a,b)=(\pi,0). Substituo os valores já calculados.

Passo 9

Substituindo f(\pi,0)=\sqrt{\pi+1}, f_x(\pi,0)=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi+1}} e f_y(\pi,0)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi+1}} na fórmula da linearização, obtém-se
L(x,y)=\sqrt{\pi+1}+\frac{1}{2\sqrt{\pi+1}}\,(x-\pi)+\frac{2}{\sqrt{\pi+1}}\,y.
Pronto — essa é a expressão do plano tangente que aproxima f perto de (\pi,0).

Passo 10

Dica prática rápida: para aproximar um valor como \sqrt{\pi+e^{0{,}1}} você pode usar L(x,y) com x=\pi e y=0{,}025 (porque 4y=0{,}1). A linearização dá uma aproximação rápida sem calculadora. Vai dar mais ou menos a mesma ordem de grandeza — é por aí que se usa isso na prova.

Resposta

A função é diferenciável em (\pi,0).
L(x,y)=\sqrt{\pi+1}+\frac{1}{2\sqrt{\pi+1}}\,(x-\pi)+\frac{2}{\sqrt{\pi+1}}\,y

Exercícios relacionados