Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=\frac{2 x+3}{4 y+1}, P(0,0).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) explicar por que a função f é diferenciável no ponto P(0,0); (b) encontrar a linearização L(x,y) de f nesse mesmo ponto.
As informações dadas são: a função
f(x,y)=\frac{2x+3}{4y+1}
e o ponto P=(0,0). Vou usar apenas esses dados.

Passo 2

Verificar primeiro se f está bem definida em P. A função tem denominador 4y+1, então seu domínio é \{(x,y)\mid 4y+1\neq0\}. Em P temos 4\cdot0+1=1\neq0, logo f(0,0) existe e
f(0,0)=\frac{2\cdot0+3}{4\cdot0+1}=3.
Portanto faz sentido perguntar sobre diferenciabilidade em P.

Passo 3

Lembrete das ideias necessárias (passo-a-passo didático):
  • Para provar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto, uma maneira prática é calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e mostrar que elas existem e são contínuas numa vizinhança do ponto. Uma função com parcelas parciais contínuas numa vizinhança é diferenciável nesse ponto.
  • A linearização (aproximação linear) de f em P=(a,b) é dada por
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais avaliadas em P.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais em forma geral (explicando regras usadas). Escrevemos f(x,y)=(2x+3)(4y+1)^{-1}.
Derivada parcial em relação a x (tratando y como constante): a derivada de 2x+3 em x é 2, e (4y+1)^{-1} é apenas fator constante em relação a x. Assim
f_x(x,y)=\frac{2}{4y+1}.
Aqui usei a regra básica: \dfrac{\partial}{\partial x} (u(x)\,v(y)) = u'(x)\,v(y) quando v não depende de x.
Derivada parcial em relação a y (usando a regra da cadeia): f(x,y)=(2x+3)\cdot g(y) com g(y)=(4y+1)^{-1}. Então
g'(y) = -1\cdot(4y+1)^{-2}\cdot 4 = -\frac{4}{(4y+1)^2}.
Multiplicando por 2x+3 obtemos
f_y(x,y) = (2x+3)\cdot\biggl(-\frac{4}{(4y+1)^2}\biggr) = -\frac{4(2x+3)}{(4y+1)^2}.
Expliquei a cadeia: derivada de (4y+1)^{-1} é -1(4y+1)^{-2} vezes a derivada interna 4.

Passo 5

Verificar continuidade das parciais perto de P. As expressões
f_x(x,y)=\frac{2}{4y+1},\qquad f_y(x,y)=-\frac{4(2x+3)}{(4y+1)^2}
são funções racionais (razão de polinômios) que são contínuas em qualquer ponto onde o denominador não se anula. Como 4y+1\neq0 em algum pequeno disco em torno de y=0 (por exemplo para |y|<\tfrac{1}{8} temos 4y+1 longe de zero), ambas as parciais são contínuas numa vizinhança de P. Pelo critério citado, isso implica que f é diferenciável em P.

Passo 6

Avaliar as derivadas parciais em P(0,0). Substituindo (x,y)=(0,0) nas fórmulas:
f_x(0,0)=\frac{2}{4\cdot0+1}=\frac{2}{1}=2,
f_y(0,0)=-\frac{4(2\cdot0+3)}{(4\cdot0+1)^2}=-\frac{4\cdot3}{1}=-12.
E já tínhamos f(0,0)=3.

Passo 7

Construir a linearização em P(0,0) usando a fórmula
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,(x-0)+f_y(0,0)\,(y-0).
Substituindo os valores:
L(x,y)=3 + 2x -12y.
Isto significa que, para (x,y) próximos a (0,0), f(x,y)\approx 3+2x-12y.

Resposta

L(x,y)=3+2x-12y

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