Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) explicar por que a função
é diferenciável no ponto
; (b) encontrar a linearização
de
nesse mesmo ponto.
As informações dadas são: a função
As informações dadas são: a função
e o ponto
. Vou usar apenas esses dados.
Passo 2
Verificar primeiro se
está bem definida em
. A função tem denominador
, então seu domínio é
. Em
temos
, logo
existe e
Portanto faz sentido perguntar sobre diferenciabilidade em
.
Passo 3
Lembrete das ideias necessárias (passo-a-passo didático):
- Para provar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto, uma maneira prática é calcular as derivadas parciais
e e mostrar que elas existem e são contínuas numa vizinhança do ponto. Uma função com parcelas parciais contínuas numa vizinhança é diferenciável nesse ponto. - A linearização (aproximação linear) de
em é dada por
onde
e
são as derivadas parciais avaliadas em
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais em forma geral (explicando regras usadas). Escrevemos
.
Derivada parcial em relação a
(tratando
como constante): a derivada de
em
é
, e
é apenas fator constante em relação a
. Assim
Aqui usei a regra básica:
quando
não depende de
.
Derivada parcial em relação a
(usando a regra da cadeia):
com
. Então
Multiplicando por
obtemos
Expliquei a cadeia: derivada de
é
vezes a derivada interna
.
Passo 5
Verificar continuidade das parciais perto de
. As expressões
são funções racionais (razão de polinômios) que são contínuas em qualquer ponto onde o denominador não se anula. Como
em algum pequeno disco em torno de
(por exemplo para
temos
longe de zero), ambas as parciais são contínuas numa vizinhança de
. Pelo critério citado, isso implica que
é diferenciável em
.
Passo 6
Avaliar as derivadas parciais em
. Substituindo
nas fórmulas:
E já tínhamos
.
Passo 7
Construir a linearização em
usando a fórmula
Substituindo os valores:
Isto significa que, para
próximos a
,
.