1. Enuncie e prove o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente “enunciar e provar o Teorema Fundamental do Cálculo”. O conteúdo que precisamos envolve:
  • Definição de integral definida \int_a^x f(t)\,dt,
  • Noções de continuidade e derivada,
  • Teorema do Valor Médio para integrais (ou para funções contínuas em um intervalo),
  • Propriedades de antiderivadas.

Passo 2

Enunciação – Parte 1
Seja f:[a,b]\to\mathbb{R} contínua. Defina
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,\qquad x\in[a,b].
Então F é diferenciável em (a,b) e
F'(x)=f(x) \qquad\text{para todo }x\in(a,b).

Passo 3

Prova da Parte 1
Para mostrar que F'(x)=f(x), use a definição de derivada:
F'(x) =\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt.
Como f é contínua em x, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c_h\in[x,x+h] tal que
\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt =f(c_h)\,(h).
Logo
\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt =f(c_h),
e, fazendo h\to0, tem c_h\to x e por continuidade de f vem
F'(x)=\lim_{h\to0}f(c_h)=f(x).

Passo 4

Enunciação – Parte 2
Suponha agora que exista uma função G diferenciável em [a,b] tal que
G'(x)=f(x) \quad\text{para todo }x\in[a,b].
Então
\int_{a}^{b}f(t)\,dt =G(b)-G(a).

Passo 5

Prova da Parte 2
Defina a função auxiliar
H(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.
Pela Parte 1, H'(x)=f(x). Como também G'(x)=f(x), as derivadas de H e G coincidem em [a,b]. Logo a diferença H(x)-G(x) é constante. Em particular, para x=b e x=a:
H(b)-G(b)=H(a)-G(a).
Mas H(a)=\int_{a}^{a}f(t)\,dt=0. Desse modo
\int_{a}^{b}f(t)\,dt=H(b) =G(b)-G(a),
como queríamos.

Resposta

Seja f:[a,b]\to\mathbb{R} contínua. Então vale:
\text{(Parte 1) Definindo }F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,\text{ temos }F'(x)=f(x).
\text{(Parte 2) Se }G'(x)=f(x)\text{ em }[a,b],\text{ então } \int_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a).ã

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