Explique por que a função
tem ao menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=x⁹−x+50 tem ao menos uma raiz real. O conteúdo envolve polinômios (que são contínuos) e o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Passo 2
Como f(x) é um polinômio de grau ímpar, sabemos que ele é contínuo em todo ℝ e que
[f(x)→−∞ quando x→−∞ e f(x)→+∞ quando x→+∞]
[f(x)→−∞ quando x→−∞ e f(x)→+∞ quando x→+∞]
Passo 3
Basta encontrar dois pontos onde f assuma sinais opostos e então aplicar o TVI. Por exemplo, ao calcular f em x=−2 e x=0 temos:
[f(−2)=(-2)⁹−(−2)+50=−512+2+50=−460<0]
[f(−2)=(-2)⁹−(−2)+50=−512+2+50=−460<0]
[f(0)=0⁹−0+50=50>0]
Passo 4
Como f é contínua e f(−2)<0 enquanto f(0)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c em (−2,0) tal que f©=0.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real no intervalo (−2,0).