4^ a Questão Calcule os limites abaixo. Use a regra L’Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da ideterminação:
lim x infty x-ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl(x-ln(x)r). O conteúdo aqui é limites envolvendo a indeterminação do tipo infty-infty.

Passo 2

Observamos que quando xtoinfty, temos xtoinfty e ln(x)toinfty, ou seja, tipo de indeterminação infty-infty. Para contornar, vamos usar propriedades de logaritmos.
Reescrevemos x como ln(e^x), já que ln(e^x)=x. Assim,
x-ln(x)=ln(e^x)-ln(x)=lnl(e^xxr)

Passo 3

Logo,
limxtoinftyl(x-ln(x)r)=limxtoinftylnl(e^xxr)=lnl(limxtoinftye^xxr)

Passo 4

Agora o limite interior é do tipo infty/infty. Aplicando a regra de L’Hôspital:
limxtoinftye^xx=limxtoinfty(e^x)'(x)'=limxtoinftye^x1=infty

Passo 5

Como ln(infty)=infty, concluímos o valor do limite.

Resposta

+infty

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