Explique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou ambígua:
Como a correlação entre duas variáveis, X e Y, pode variar entre -1 e 1, isso significa que \operatorname{cov}(X, Y) também se situa entre esses limites.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação a ser avaliada: “Como a correlação entre duas variáveis, X e Y, pode variar entre -1 e 1, isso significa que \operatorname{cov}(X,Y) também se situa entre esses limites.”\n\nO que o enunciado nos pede: determinar se essa afirmação é verdadeira, falsa ou ambígua, e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
A correlação entre X e Y satisfaz -1 \le \rho_{X,Y} \le 1.
A pergunta quer saber se a mesma restrição numérica se aplica a \operatorname{cov}(X,Y).
Passo 2
Definições e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadas com calma).
Definição de covariância: a covariância entre X e Y é
Aqui \mathbb{E}[X] é a esperança (média) de X. A covariância mede tendência conjunta: valores positivos indicam que X e Y tendem a variar na mesma direção, negativos indicam tendência oposta.
Definição de desvio padrão: o desvio padrão de X é
desde que \sigma_X>0 e \sigma_Y>0. A correlação é adimensional (sem unidade) porque divide a covariância pela escala dos dois lados.
Passo 3
Por que \rho_{X,Y} está entre -1 e 1. Aqui entra uma desigualdade importante (Cauchy–Schwarz, explicada de forma simples). Para quaisquer variáveis aleatórias com variância finita vale
Isto é crucial: a covariância é a correlação multiplicada pelos desvios padrão das duas variáveis. A correlação só dá a direção e força relativa (adimensional); a covariância depende também das escalas absolutas de X e Y através de \sigma_X e \sigma_Y.
Passo 5
Conclusão conceitual (a resposta ao enunciado). Como \rho_{X,Y} está restrita a [-1,1], isso não impõe automaticamente que \operatorname{cov}(X,Y) esteja em [-1,1], porque \operatorname{cov}(X,Y) é \rho_{X,Y} vezes \sigma_X\sigma_Y, e o produto \sigma_X\sigma_Y pode ser qualquer número não negativo — pode ser menor que 1, igual a 1, ou muito maior que 1. Portanto a afirmação do enunciado é falsa: a correlação limitada a [-1,1] não implica que a covariância esteja nesses mesmos limites numéricos.
Passo 6
Exemplos numéricos simples para fixar a intuição (mostrando que a covariância pode ser maior que 1 em magnitude e também dentro de [-1,1]).
Exemplo onde \operatorname{cov}(X,Y) ultrapassa 1: considere Z com média zero e variância 1 (por exemplo Z padrão). Defina X=3Z e Y=3Z. Então \sigma_X=3, \sigma_Y=3 e, como X e Y são perfeitamente correlacionados, \rho_{X,Y}=1. Assim
que é muito maior que 1. Isso mostra explicitamente que, apesar de \rho_{X,Y}=1, a covariância não está em [-1,1].
Exemplo onde \operatorname{cov}(X,Y) está entre -1 e 1: se X e Y forem padrões com \sigma_X=\sigma_Y=1 e tiverem correlação \rho_{X,Y}=0,5, então
\operatorname{cov}(X,Y)=0,5\cdot 1\cdot 1=0,5,
que fica entre -1 e 1. Ou seja, às vezes a covariância está naquele intervalo, mas não em geral.
Passo 7
Resumo final e dica prática para prova: sempre verifique as unidades/escala. A correlação é uma medida adimensional limitada a [-1,1] porque é a covariância dividida pelos desvios padrão. A covariância, por depender de \sigma_X\sigma_Y, não tem limites universais fixos; seu valor depende da escala das variáveis. Se quiser uma medida sempre entre -1 e 1, use a correlação.