2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Uma esfera de raio R e massa M é suspensa por um fio a partir de um ponto fixo. A distância do centro da esfera a este ponto vale I. Ache o período do pêndulo para pequenas oscilações. Mostre que para \mathbf{R}<\mathrm{I} o resultado encontrado tende ao conhecido caso do pêndulo simples.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R e massa M presa por um fio de modo que o centro da esfera está a uma distância I do ponto de suspensão. Precisamos encontrar o período das pequenas oscilações desse pêndulo físico. Para isso, vamos usar a teoria de pêndulo físico (momento de inércia em relação ao pivô e torque restaurador) e a aproximação \sin\theta\approx\theta.

Passo 2

Calculamos primeiro o momento de inércia da esfera em relação ao ponto de suspensão. O momento de inércia em torno do centro de massa é
I_{\rm cm} = \frac{2}{5} M R^2,
e pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia em relação ao pivô (distância I do centro) é
I_{\rm pivô} = I_{\rm cm} + M I^2 = \frac{2}{5} M R^2 + M I^2.ô

Passo 3

Para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, o torque gravitacional é
\tau = - M g \,I \,\sin\theta \approx - M g\,I\,\theta.
A equação de movimento angular do pêndulo físico é
I_{\rm pivô}\,\ddot\theta + M g\,I\,\theta = 0,ô
que é a equação de um oscilador harmônico com
\omega^2 = \frac{M g\,I}{I_{\rm pivô}}.ô

Passo 4

O período T das oscilações é dado por
T = 2\pi\,\sqrt{\frac{I_{\rm pivô}}{M g\,I}} = 2\pi\,\sqrt{\frac{\displaystyle M I^2 + \frac{2}{5}M R^2}{\displaystyle M g\,I}} = 2\pi\,\sqrt{\frac{I^2 + \tfrac{2}{5}R^2}{g\,I}}.ô

Passo 5

Se R for muito menor que I (ou seja, R\ll I), podemos desprezar \tfrac{2}{5}R^2 em relação a I^2. Então
T \approx 2\pi\,\sqrt{\frac{I^2}{g\,I}} = 2\pi\,\sqrt{\frac{I}{g}},
que é exatamente o período do pêndulo simples de comprimento I.

Resposta

T = 2\pi\,\sqrt{\frac{I^2 + \tfrac{2}{5}R^2}{g\,I}}, \quad\text{e para }R\ll I\text{ temos }T\to 2\pi\sqrt{\frac{I}{g}}.

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