(a) Explique o que é o número de onda k.
(b) Qual é a relação entre frequência e período?
(c) O que é uma onda harmônica?
(d) É correto afirmar que qualquer função da forma u(x, t)=f(x-v t)+g(x+v t) é solução da equação de onda unidimensional? Justifique.

Passo 1

O enunciado faz quatro perguntas sobre ondas unidimensionais: (a) definição do número de onda k, (b) relação entre frequência e período, (c) o que é onda harmônica e (d) se qualquer função da forma u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) satisfaz a equação de onda unidimensional. Para resolver vamos usar conceitos básicos de ondas, definições de parâmetros e verificar diretamente a equação de onda
partial^2 upartial t^2 = v^2 ,partial^2 upartial x^2

Passo 2

O número de onda k é uma medida da “frequência espacial” da onda, ou seja, quantas oscilações cabem numa unidade de comprimento. Ele é definido por
k = 2pilambda,
onde lambda é o comprimento de onda (distância entre dois picos consecutivos). Em unidades, k tem dimensões de m^-1.

Passo 3

A frequência f (número de oscilações por segundo) e o período T (tempo para uma oscilação) são inversos entre si. A relação é
f = 1T,
ou equivalentemente
T = 1f

Passo 4

Uma onda harmônica é aquela cuja forma varia sinusoidalmente no tempo e no espaço. A expressão geral é
u(x,t) = A cosl(kx - omega t + varphir)
ou equivalente com seno, onde A é a amplitude, omega é a pulsação ( omega = 2pi f) e varphi é a fase inicial. Essa forma é solução da equação de onda porque cada componente senoidal satisfaz
omega^2 = v^2 k^2.

Passo 5

Para verificar se u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) é solução, basta aplicar a equação de onda. Tomando xi = x - vt, por exemplo, temos
partial upartial t = -v f'(xi), partial^2 upartial t^2 = v^2 f''(xi),
e
partial upartial x = f'(xi), partial^2 upartial x^2 = f''(xi)
Logo
partial^2 upartial t^2 = v^2 f''(xi) = v^2 ,partial^2 upartial x^2
O mesmo vale para g(x+vt), e pela linearidade da equação qualquer combinação f(x-vt)+g(x+vt) satisfaz a equação de onda unidimensional.

Resposta

(a) O número de onda k é definido por
k = 2pilambda,
e mede a frequência espacial da onda.
(b) A frequência f e o período T são inversos:
f = 1T, T = 1f
(c) Uma onda harmônica é uma solução senoidal do tipo
u(x,t) = A cosl(kx - omega t + varphir),
com omega = 2pi f.
(d) Sim. Qualquer função da forma
u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)
é solução da equação
partial^2 upartial t^2 = v^2,partial^2 upartial x^2
pela aplicação direta do operador diferencial e pela linearidade do problema.

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