1. Explique com palavras: (i) o que significa normalizar uma função de onda? (ii) também o significado do valor esperado de x, e (iii) por que é necessário utilizar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p ? (iv) Explique o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre x=-a e x=+b, com a<b. Qual é o valor esperado \langle x\rangle=\bar{x} para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa. (c) Para o caso anterior, qual é o \langle p\rangle para o estado fundamental? Explique por quê?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pergunta 3 pede explicações conceituais:
    • (i) o que significa normalizar uma função de onda;
    • (ii) o significado do valor esperado de x;
    • (iii) por que é necessário usar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p;
    • (iv) o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
  • Pergunta 4 tem duas alíneas para um poço de potencial infinito que existe apenas no intervalo x\in[-a,b] com a<b:
    • (b) encontrar o valor esperado \langle x\rangle=\bar{x} para o estado fundamental, com uma análise qualitativa;
    • (c) encontrar \langle p\rangle para o estado fundamental e explicar por quê.
  • Dados explícitos que usarei: o poço é infinito fora de [-a,b], portanto \psi(-a)=\psi(b)=0 e a solução física no interior será uma combinação de senos/cossenos normalizável; quero o estado fundamental (primeiro modo).

Passo 2

(i) O que significa normalizar uma função de onda.
  • Ideia em palavras: a função de onda \psi(x,t) dá amplitudes para encontrar a partícula em cada posição. A probabilidade de achar a partícula num intervalo [x_1,x_2] é \int_{x_1}^{x_2} |\psi(x,t)|^2\,dx. Como a partícula existe em algum lugar com certeza, a probabilidade total deve ser 1.
  • Expressão matemática: a normalização exige
\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,dx = 1.
  • Como normalizar na prática: se uma solução \varphi(x) do problema tem forma conhecida mas com um fator C desconhecido, escolhe-se C tal que a integral acima seja 1. Exemplo rápido (usado depois): para uma função do tipo \psi(x)=C\sin\!\big(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\big) em [-a,b] com L=a+b, impõe-se
1 = \int_{-a}^{b} |C|^2 \sin^2\!\big(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\big)\,dx,
e resolve-se para C. Vou mostrar esse cálculo mais adiante quando achar \psi.

Passo 3

(ii) Significado do valor esperado de x.
  • Definição: o valor esperado (ou média) de x num estado \psi é
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x,t)\, x\, \psi(x,t)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,|\psi(x,t)|^2\,dx.
  • Interpretação física: se fizeres muitas medidas da posição em sistemas idênticos preparados no mesmo estado \psi, a média aritmética dos resultados tende para \langle x\rangle. Assim \langle x\rangle é o centro de massa probabilístico da distribuição |\psi|^2.
  • Unidade: mesma unidade que x (por exemplo metros), porque integra-se x vezes uma distribuição de probabilidade.
  • Observação prática: \langle x\rangle pode depender do tempo; para estados estacionários (autovetores de energia) muitas vezes é constante.

Passo 4

(iii) Por que usar um operador diferencial no cálculo de \langle p\rangle.
  • Em mecânica quântica as grandezas clássicas (observáveis) são representadas por operadores. No espaço da representação de posição, o operador momento linear é
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
  • Intuição do porquê do diferencial:
    • Ondas com fase \mathrm{e}^{ikx} têm momento proporcional a k. A derivada de \mathrm{e}^{ikx} dá um fator ik, de modo que \hat p\,\mathrm{e}^{ikx} = -i\hbar (ik)\mathrm{e}^{ikx} = \hbar k\,\mathrm{e}^{ikx}. Isso recupera a relação clássica-quantica p=\hbar k.
    • Também, matematicamente, -i\hbar\frac{d}{dx} é o gerador de translações: pequenas translações em x produzem mudanças de fase relacionadas ao momento.
  • Fórmula do valor esperado: para um estado \psi,
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x,t)\,\hat p\,\psi(x,t)\,dx = -i\hbar\int \psi^*(x,t)\,\frac{d}{dx}\psi(x,t)\,dx.
  • Exemplo rápido: para uma onda plana \psi(x)=A\mathrm{e}^{ikx} normalizada numa caixa, substituindo \hat p obtém-se \langle p\rangle=\hbar k, conforme esperado.

Passo 5

(iv) Significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
  • A função de onda \psi(x,t) é a amplitude de probabilidade: |\psi(x,t)|^2 é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x num dado t.
  • A equação de Schrödinger dita como \psi evolui no tempo. A forma dependente do tempo é
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat H\psi(x,t),
onde \hat H é o operador Hamiltoniano (energia total).
  • Para estados estacionários (autofunções do Hamiltoniano) a separação de variáveis dá \psi(x,t)=\varphi(x)\mathrm{e}^{-iEt/\hbar}. A parte espacial \varphi(x) mostra a forma fixa da distribuição de probabilidade e o fator temporal apenas adiciona uma fase global que não altera |\psi|^2.
  • Interpretação qualtitativa: a amplitude tem módulo (probabilidade) e fase (que guarda informação sobre momento e correntes de probabilidade). Zonas onde \psi=0 são nós, ou seja probabilidade zero de encontrar a partícula ali.

Passo 6

Agora resolvo a alínea 4(b): encontrar \langle x\rangle para o estado fundamental do poço infinito em x\in[-a,b].
  • Primeiro passo técnico: é útil deslocar a coordenada para simplificar. Defina
L = a+b,\qquad y = x+a.
Com isso o domínio em y é [0,L] (porque quando x=-a então y=0, e quando x=b então y=L). Isso torna o problema igual ao poço padrão de comprimento L com fronteiras em y=0 e y=L.

Passo 7

Solucionando a equação estacionária dentro do poço e aplicando condições de contorno.
  • Dentro do poço a energia cinética domina e a parte espacial satisfaz
\frac{d^2\varphi}{dx^2} + k^2 \varphi = 0.
  • Usando a variável y a solução geral no interior é combinação de seno e cosseno. As condições \varphi(-a)=0 e \varphi(b)=0 tornam-se \varphi(y=0)=0 e \varphi(y=L)=0. Isso força a solução a ter forma
\phi_n(y) = A_n \sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{L}\big),\qquad n=1,2,\dots
com os k_n = \tfrac{n\pi}{L}. O estado fundamental corresponde a n=1.
  • Em termos de x,
\psi_1(x) = A \sin\!\bigg(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\bigg),\qquad -a\le x\le b.

Passo 8

Normalização do estado fundamental (aplico o que expliquei no Passo 2).
  • Impõe-se
1=\int_{-a}^{b} |\psi_1(x)|^2\,dx = |A|^2\int_{-a}^{b}\sin^2\!\bigg(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\bigg)\,dx.
  • Faço a mudança y=x+a cujo jacobiano é dx=dy e os limites ficam 0 a L:
1 = |A|^2\int_{0}^{L}\sin^2\!\bigg(\tfrac{\pi y}{L}\bigg)\,dy.
  • Uso a identidade \sin^2\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta). Então
\int_{0}^{L}\sin^2\!\bigg(\tfrac{\pi y}{L}\bigg)\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{L}1\,dy - \frac{1}{2}\int_{0}^{L}\cos\!\bigg(\tfrac{2\pi y}{L}\bigg)\,dy.
A primeira integral vale \tfrac{L}{2}. A segunda integral é proporcional a \sin(2\pi y/L) avaliada em 0 e L, que é zero (porque \sin(0)=\sin(2\pi)=0). Portanto a integral total vale \tfrac{L}{2}.
  • Assim 1 = |A|^2 \tfrac{L}{2}, logo
A = \sqrt{\tfrac{2}{L}}.
Essa é a constante de normalização do estado fundamental.

Passo 9

Cálculo explícito de \langle x\rangle para o estado fundamental.
  • Começo com a definição
\langle x\rangle = \int_{-a}^{b} x\,|\psi_1(x)|^2\,dx.
  • Faço a mudança y=x+a (novamente x=y-a e dx=dy). Assim
\langle x\rangle = \int_{0}^{L} (y-a)\; \bigg|\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\!\big(\tfrac{\pi y}{L}\big)\bigg|^2\,dy.
  • Escrevo isso como diferença de duas integrais:
\langle x\rangle = \sqrt{\tfrac{2}{L}}^{\,2}\left(\int_{0}^{L} y\sin^2\!\big(\tfrac{\pi y}{L}\big)\,dy - a\int_{0}^{L}\sin^2\!\big(\tfrac{\pi y}{L}\big)\,dy\right).
Já calculei a segunda integral: \int_{0}^{L}\sin^2(\pi y/L)\,dy = L/2. E \sqrt{\tfrac{2}{L}}^{\,2} = \tfrac{2}{L}. Então
\langle x\rangle = \frac{2}{L}\left(\int_{0}^{L} y\sin^2\!\big(\tfrac{\pi y}{L}\big)\,dy - a\frac{L}{2}\right).
  • Agora avalio I=\int_{0}^{L} y\sin^2\!\big(\tfrac{\pi y}{L}\big)\,dy. Uso a identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta):
I = \frac{1}{2}\int_{0}^{L} y\,dy - \frac{1}{2}\int_{0}^{L} y\cos\!\big(\tfrac{2\pi y}{L}\big)\,dy.
A primeira parte é \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{L^2}{2}=\tfrac{L^2}{4}.
  • A segunda parte é zero por integração por partes: seja u=y, dv=\cos(2\pi y/L)\,dy. Então du=dy e v=\tfrac{L}{2\pi}\sin(2\pi y/L). Assim
\int_{0}^{L} y\cos\!\big(\tfrac{2\pi y}{L}\big)\,dy = \left.\frac{L}{2\pi}y\sin\!\big(\tfrac{2\pi y}{L}\big)\right|_{0}^{L} - \frac{L}{2\pi}\int_{0}^{L}\sin\!\big(\tfrac{2\pi y}{L}\big)\,dy.
Ambos termos são nulos porque \sin(0)=\sin(2\pi)=0. Logo a integral toda é zero.
  • Portanto I=\tfrac{L^2}{4}. Substituindo em \langle x\rangle,
\langle x\rangle = \frac{2}{L}\left(\frac{L^2}{4} - a\frac{L}{2}\right) = \frac{2}{L}\cdot\frac{L}{4}(L-2a)=\frac{L}{2}-a.
  • Lembrando L=a+b, obtemos
\boxed{\langle x\rangle = \frac{a+b}{2}-a = \frac{b-a}{2}.}
Essa é a resposta explícita. Interpretando qualitativamente: \langle x\rangle é o centro geométrico do intervalo [-a,b] medido a partir do centro situado em x=0; quando a=b (poço simétrico) obtemos \langle x\rangle=0; se b>a a média desloca-se para a direita e vale (b-a)/2.

Passo 10

Alínea 4(c): achar \langle p\rangle para o estado fundamental e explicar por quê.
  • Use a definição com o operador momento na representação de posição:
\langle p\rangle = -i\hbar\int_{-a}^{b} \psi_1^*(x)\,\frac{d}{dx}\psi_1(x)\,dx.
  • Note que a função \psi_1(x)=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\!\big(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\big) é real (não tem parte imaginária). Para uma função real \psi vale
\psi^*\frac{d\psi}{dx} = \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\psi^2).
Então
\langle p\rangle = -i\hbar\cdot\frac{1}{2}\int_{-a}^{b} \frac{d}{dx}(\psi_1^2)\,dx = -i\hbar\cdot\frac{1}{2}\big[\psi_1^2(x)\big]_{-a}^{b}.
  • Mas \psi_1(-a)=\psi_1(b)=0 (condição de fronteira do poço infinito). Assim o termo de contorno é zero e
\boxed{\langle p\rangle = 0.}
  • Explicação física curta: não há momento médio porque o estado ligado estacionário não favorece nem a direção positiva nem a negativa do eixo x; o fluxo médio de probabilidade é nulo. O resultado decorre diretamente da realidade de \psi_1 e das condições de contorno.

Resposta

(i) Normalizar uma função de onda significa escolher seu fator multiplicativo tal que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,dx=1; isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é 1.
(ii) O valor esperado \langle x\rangle é a média das medições de posição em muitos experimentos idênticos, dada por \displaystyle\langle x\rangle=\int \psi^*(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx, isto é o “centro de massa probabilístico” da distribuição |\psi|^2.
(iii) Usa-se um operador diferencial porque, na representação de posição, o operador momento é \displaystyle\hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}; a derivada aparece porque o momento está ligado à variação de fase espacial da função de onda (para uma onda \mathrm{e}^{ikx} a derivada retorna p=\hbar k).
(iv) A função de onda \psi(x,t) é uma amplitude de probabilidade cuja intensidade |\psi|^2 dá a densidade de probabilidade de posição; a equação de Schrödinger governa a evolução temporal dessa amplitude.
4(b) \displaystyle \langle x\rangle = \frac{b-a}{2}.
4(c) \displaystyle \langle p\rangle = 0.

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