Explique com palavras: (i) o que significa normalizar uma função de onda? (ii) também o significado do valor esperado de x, e (iii) por que é necessário utilizar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p ? (iv) Explique o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre x=-a e x=+b, com a<b. Qual é o valor esperado \langle x\rangle=\bar{x} para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa. (c) Para o caso anterior, qual é o \langle p\rangle para o estado fundamental? Explique por quê?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
Pergunta 3 pede explicações conceituais:
(i) o que significa normalizar uma função de onda;
(ii) o significado do valor esperado de x;
(iii) por que é necessário usar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p;
(iv) o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
Pergunta 4 tem duas alíneas para um poço de potencial infinito que existe apenas no intervalo x\in[-a,b] com a<b:
(b) encontrar o valor esperado \langle x\rangle=\bar{x} para o estado fundamental, com uma análise qualitativa;
(c) encontrar \langle p\rangle para o estado fundamental e explicar por quê.
Dados explícitos que usarei: o poço é infinito fora de [-a,b], portanto \psi(-a)=\psi(b)=0 e a solução física no interior será uma combinação de senos/cossenos normalizável; quero o estado fundamental (primeiro modo).
Passo 2
(i) O que significa normalizar uma função de onda.
Ideia em palavras: a função de onda \psi(x,t) dá amplitudes para encontrar a partícula em cada posição. A probabilidade de achar a partícula num intervalo [x_1,x_2] é \int_{x_1}^{x_2} |\psi(x,t)|^2\,dx. Como a partícula existe em algum lugar com certeza, a probabilidade total deve ser 1.
Expressão matemática: a normalização exige
\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,dx = 1.
Como normalizar na prática: se uma solução \varphi(x) do problema tem forma conhecida mas com um fator C desconhecido, escolhe-se C tal que a integral acima seja 1. Exemplo rápido (usado depois): para uma função do tipo \psi(x)=C\sin\!\big(\tfrac{\pi(x+a)}{L}\big) em [-a,b] com L=a+b, impõe-se
Interpretação física: se fizeres muitas medidas da posição em sistemas idênticos preparados no mesmo estado \psi, a média aritmética dos resultados tende para \langle x\rangle. Assim \langle x\rangle é o centro de massa probabilístico da distribuição |\psi|^2.
Unidade: mesma unidade que x (por exemplo metros), porque integra-se x vezes uma distribuição de probabilidade.
Observação prática: \langle x\rangle pode depender do tempo; para estados estacionários (autovetores de energia) muitas vezes é constante.
Passo 4
(iii) Por que usar um operador diferencial no cálculo de \langle p\rangle.
Em mecânica quântica as grandezas clássicas (observáveis) são representadas por operadores. No espaço da representação de posição, o operador momento linear é
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
Intuição do porquê do diferencial:
Ondas com fase \mathrm{e}^{ikx} têm momento proporcional a k. A derivada de \mathrm{e}^{ikx} dá um fator ik, de modo que \hat p\,\mathrm{e}^{ikx} = -i\hbar (ik)\mathrm{e}^{ikx} = \hbar k\,\mathrm{e}^{ikx}. Isso recupera a relação clássica-quantica p=\hbar k.
Também, matematicamente, -i\hbar\frac{d}{dx} é o gerador de translações: pequenas translações em x produzem mudanças de fase relacionadas ao momento.
Exemplo rápido: para uma onda plana \psi(x)=A\mathrm{e}^{ikx} normalizada numa caixa, substituindo \hat p obtém-se \langle p\rangle=\hbar k, conforme esperado.
Passo 5
(iv) Significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger.
A função de onda \psi(x,t) é a amplitude de probabilidade: |\psi(x,t)|^2 é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x num dado t.
A equação de Schrödinger dita como \psi evolui no tempo. A forma dependente do tempo é
onde \hat H é o operador Hamiltoniano (energia total).
Para estados estacionários (autofunções do Hamiltoniano) a separação de variáveis dá \psi(x,t)=\varphi(x)\mathrm{e}^{-iEt/\hbar}. A parte espacial \varphi(x) mostra a forma fixa da distribuição de probabilidade e o fator temporal apenas adiciona uma fase global que não altera |\psi|^2.
Interpretação qualtitativa: a amplitude tem módulo (probabilidade) e fase (que guarda informação sobre momento e correntes de probabilidade). Zonas onde \psi=0 são nós, ou seja probabilidade zero de encontrar a partícula ali.
Passo 6
Agora resolvo a alínea 4(b): encontrar \langle x\rangle para o estado fundamental do poço infinito em x\in[-a,b].
Primeiro passo técnico: é útil deslocar a coordenada para simplificar. Defina
L = a+b,\qquad y = x+a.
Com isso o domínio em y é [0,L] (porque quando x=-a então y=0, e quando x=b então y=L). Isso torna o problema igual ao poço padrão de comprimento L com fronteiras em y=0 e y=L.
Passo 7
Solucionando a equação estacionária dentro do poço e aplicando condições de contorno.
Dentro do poço a energia cinética domina e a parte espacial satisfaz
\frac{d^2\varphi}{dx^2} + k^2 \varphi = 0.
Usando a variável y a solução geral no interior é combinação de seno e cosseno. As condições \varphi(-a)=0 e \varphi(b)=0 tornam-se \varphi(y=0)=0 e \varphi(y=L)=0. Isso força a solução a ter forma
A primeira integral vale \tfrac{L}{2}. A segunda integral é proporcional a \sin(2\pi y/L) avaliada em 0 e L, que é zero (porque \sin(0)=\sin(2\pi)=0). Portanto a integral total vale \tfrac{L}{2}.
Assim 1 = |A|^2 \tfrac{L}{2}, logo
A = \sqrt{\tfrac{2}{L}}.
Essa é a constante de normalização do estado fundamental.
Passo 9
Cálculo explícito de \langle x\rangle para o estado fundamental.
Essa é a resposta explícita. Interpretando qualitativamente: \langle x\rangle é o centro geométrico do intervalo [-a,b] medido a partir do centro situado em x=0; quando a=b (poço simétrico) obtemos \langle x\rangle=0; se b>a a média desloca-se para a direita e vale (b-a)/2.
Passo 10
Alínea 4(c): achar \langle p\rangle para o estado fundamental e explicar por quê.
Use a definição com o operador momento na representação de posição:
Mas \psi_1(-a)=\psi_1(b)=0 (condição de fronteira do poço infinito). Assim o termo de contorno é zero e
\boxed{\langle p\rangle = 0.}
Explicação física curta: não há momento médio porque o estado ligado estacionário não favorece nem a direção positiva nem a negativa do eixo x; o fluxo médio de probabilidade é nulo. O resultado decorre diretamente da realidade de \psi_1 e das condições de contorno.
Resposta
(i) Normalizar uma função de onda significa escolher seu fator multiplicativo tal que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,dx=1; isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é 1.
(ii) O valor esperado \langle x\rangle é a média das medições de posição em muitos experimentos idênticos, dada por \displaystyle\langle x\rangle=\int \psi^*(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx, isto é o “centro de massa probabilístico” da distribuição |\psi|^2.
(iii) Usa-se um operador diferencial porque, na representação de posição, o operador momento é \displaystyle\hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}; a derivada aparece porque o momento está ligado à variação de fase espacial da função de onda (para uma onda \mathrm{e}^{ikx} a derivada retorna p=\hbar k).
(iv) A função de onda \psi(x,t) é uma amplitude de probabilidade cuja intensidade |\psi|^2 dá a densidade de probabilidade de posição; a equação de Schrödinger governa a evolução temporal dessa amplitude.
4(b) \displaystyle \langle x\rangle = \frac{b-a}{2}.
4(c) \displaystyle \langle p\rangle = 0.