Explique com suas palavras, como podemos calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva no espaço.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como calcular o trabalho realizado por uma força vetorial quando ela atua ao longo de uma trajetória curva no espaço. O conteúdo principal envolve integrais de linha de campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar a curva e usar o produto escalar para traduzir força e deslocamento em uma integral.

Passo 2

Para começar, representamos a curva no espaço por uma parametrização
r(t), tin[a,b]
Então cada ponto da trajetória é dado por r(t).

Passo 3

Em seguida, escrevemos o vetor força como função do parâmetro, substituindo a posição na expressão de F:
F( r(t))
Isso garante que força e posição variem com t.

Passo 4

O deslocamento infinitesimal ao longo da curva é dado por
d r = r'(t), dt
Aqui r'(t) é a derivada da parametrização.

Passo 5

O trabalho é a soma (integral) do produto escalar entre a força e o deslocamento ao longo de toda a curva. Assim:
W=integralC Fcdot d r =integrala^b F( r(t))cdot r'(t), dt
Essa integral de linha dá o valor total do trabalho realizado.

Passo 6

Depois, basta calcular esse integral de t=a até t=b, aplicando as regras normais de integração e produto escalar para obter um valor numérico ou expressão simbólica para o trabalho.

Resposta

O trabalho realizado é dado pela integral de linha
W=integralC Fcdot d r=integrala^b F( r(t))cdot r'(t), dt

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