Explique com suas palavras, como podemos calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva no espaço.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como calcular o trabalho realizado por uma força vetorial quando ela atua ao longo de uma trajetória curva no espaço. O conteúdo principal envolve integrais de linha de campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar a curva e usar o produto escalar para traduzir força e deslocamento em uma integral.
Passo 2
Para começar, representamos a curva no espaço por uma parametrização
Então cada ponto da trajetória é dado por
Passo 3
Em seguida, escrevemos o vetor força como função do parâmetro, substituindo a posição na expressão de
:
Isso garante que força e posição variem com
Passo 4
O deslocamento infinitesimal ao longo da curva é dado por
Aqui
Passo 5
O trabalho é a soma (integral) do produto escalar entre a força e o deslocamento ao longo de toda a curva. Assim:
Essa integral de linha dá o valor total do trabalho realizado.
Passo 6
Depois, basta calcular esse integral de
até
, aplicando as regras normais de integração e produto escalar para obter um valor numérico ou expressão simbólica para o trabalho.
Resposta
O trabalho realizado é dado pela integral de linha