Explique, com suas palavras, se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se
é contínua em um ponto
então
é derivável neste ponto.
Passo 1
O enunciado afirma que “se uma função f(x) é contínua em um ponto a, então ela é derivável em a” — ou seja, pressupõe que continuidade sempre garanta a existência da derivada.
Passo 2
Uma função f é contínua em a quando vale
. Ela é derivável em a se existir o limite
e esse limite for um número finito.
Passo 3
Há um resultado padrão em cálculo que diz: derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, mas o recíproco não é verdade em geral. Ou seja, toda função derivável é contínua, mas nem toda contínua é derivável.
Passo 4
Um exemplo clássico é
no ponto
. Essa função satisfaz
, logo é contínua em 0. Mas
se calcularmos , temos limite lateral esquerdo
e direito
, portanto o limite não existe e f não é derivável em 0.
se calcularmos
Resposta
Falsa. A continuidade não garante derivabilidade (ex.:
é contínua em 0, mas não derivável lá).