Explique, com suas palavras, se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se f(x) é contínua em um ponto a então f(x) é derivável neste ponto.

Passo 1

O enunciado afirma que “se uma função f(x) é contínua em um ponto a, então ela é derivável em a” — ou seja, pressupõe que continuidade sempre garanta a existência da derivada.

Passo 2

Uma função f é contínua em a quando vale limx to af(x)=f(a). Ela é derivável em a se existir o limite limhto0f(a+h)-f(a)h e esse limite for um número finito.

Passo 3

Há um resultado padrão em cálculo que diz: derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, mas o recíproco não é verdade em geral. Ou seja, toda função derivável é contínua, mas nem toda contínua é derivável.

Passo 4

Um exemplo clássico é f(x)=|x| no ponto a=0. Essa função satisfaz limxto0|x|=0=f(0), logo é contínua em 0. Mas
se calcularmos f(0+h)-f(0)h=|h|h, temos limite lateral esquerdo -1 e direito +1, portanto o limite não existe e f não é derivável em 0.

Resposta

Falsa. A continuidade não garante derivabilidade (ex.: f(x)=|x| é contínua em 0, mas não derivável lá).

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