Explique, com suas palavras, o significado de \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L.
Por que dizemos que o limite não depende do valor de f(a) ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar o significado de \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Explicar por que dizemos que o limite não depende do valor de f(a).
Informações dadas: nenhuma fórmula concreta além dos símbolos do limite; trata-se de uma pergunta conceitual.

Passo 2

Intuição simples e visual (a primeira boa imagem na cabeça).
  • Dizer \lim_{x\to a} f(x)=L significa: quando x se aproxima cada vez mais de a (por valores à esquerda e à direita), os valores f(x) ficam cada vez mais próximos de L.
  • Importante: falar em "aproximar-se de a" não exige que x chegue a ser exatamente a. O comportamento de f em pontos muito próximos de a é o que importa.
  • Imagine uma janela vertical ao redor de a (um intervalo pequeno em x) e uma janela horizontal ao redor de L (um intervalo pequeno em y). A afirmação do limite diz que é possível escolher a janela vertical tão pequena que, sempre que x estiver nela (mas x\neq a), f(x) cairá dentro da janela horizontal.

Passo 3

Definição formal (é crucial entender as letras): a versão épsilon‑delta.
  • A afirmação
\lim_{x\to a} f(x)=L
significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x,
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
  • O que cada símbolo quer dizer:
    • \varepsilon>0 é o quanto se quer que f(x) esteja perto de L (uma margem de erro em y).
    • \delta>0 é o quão perto x precisa estar de a (uma margem em x).
    • A condição 0<|x-a|<\delta significa "x está suficientemente próximo de a, mas diferente de a". O zero estritamente exclui o caso x=a.
    • O implicador diz: sempre que x estiver nessa faixa (próximo, porém distinto de a), então f(x) estará dentro de \varepsilon de L.

Passo 4

Outra forma equivalente (sequências) — dá mais intuição e também não usa f(a).
  • A afirmação \lim_{x\to a} f(x)=L é equivalente a:
    • Para qualquer sequência (x_n) com x_n\neq a para todo n e x_n\to a, tem-se f(x_n)\to L.
  • Nesta caracterização, nota-se imediatamente que f(a) não aparece — só importam os valores f(x_n) para x_n próximos de a mas diferentes de a.

Passo 5

Prova curta e direta de por que o limite não depende de f(a)\). - Seja \(f\) uma função com \(\lim_{x\to a} f(x)=L\). Defina outra função \(g\) igual a \(f\) em todos os pontos exceto possivelmente em \(a\); isto é, \[g(x)=\begin{cases} f(x), & x\neq a,\\[4pt] \text{(qualquer valor)}, & x=a. \end{cases}
  • Para qualquer \varepsilon>0\], pela hipótese existe \(\delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta vale |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Mas para todos esses x com 0<|x-a|<\delta temos g(x)=f(x), logo |g(x)-L|<\varepsilon.
  • Portanto a mesma \delta funciona para g, e obtemos \lim_{x\to a} g(x)=L.
  • Conclusão: mudar o valor da função em a não altera a propriedade \lim_{x\to a} f(x)=L. Em outras palavras, o limite só olha os valores de f em pontos próximos a a, não no próprio a.]

Passo 6

Exemplos concretos e o que isto significa na prática.
  • Exemplo 1 (buraco/removível): defina f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 100, & x=1. \end{cases}Para x\neq 1 simplifica-se f(x)=x+1, então \lim_{x\to 1} f(x)=2, apesar de f(1)=100. O limite é 2 e independe do valor em x=1.
  • Exemplo 2 (contínua): se f(x)=x então \lim_{x\to 1} f(x)=1 e f(1)=1; aqui limite e valor coincidem (função contínua), mas isso não é necessário para que o limite exista.
  • Exemplo 3 (não existe limite): f(x)=\sin(1/x) para x\neq 0. Não existe \lim_{x\to 0} f(x); alterar f(0) não fará o limite aparecer. Ou seja: mudar f(a) não cria um limite quando ele não existe — mas também não muda um limite que já exista.]

Passo 7

Resumo em linguagem direta e um empurrãozinho final.
  • Dizer \lim_{x\to a} f(x)=L é afirmar que, se olhar nos pontos de x cada vez mais próximos de a (mas diferentes de a), os valores f(x) se aproximam arbitrariamente de L.
  • Dizemos que o limite não depende de f(a) porque a definição formal exige 0<|x-a|<\delta: a condição exclui explicitamente o ponto x=a. Assim, o valor que a função toma exatamente em a não entra na verificação do limite.
  • Você está indo bem: na prova, ao ver um limite, pense sempre “o que acontece para x muito perto de a, sem olhar o próprio a?” — isso resolve a dúvida rápido.

Resposta

\lim_{x\to a} f(x)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon; isto é, os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x se aproxima de a (sem ser igual a a).
O limite não depende de f(a) porque a definição exige 0<|x-a|<\delta, excluindo x=a; portanto alterar o valor da função em a não altera as condições que garantem o limite.

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