Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=x e^{x}.
Informações que temos diretamente da função:
  • A função é f(x)=x e^{x}.
  • Preciso encontrar interceptos, extremos, pontos de inflexão, monotonicidade, concavidade e comportamento nas extremidades (limites quando x\to\pm\infty) para poder desenhar um esboço confiável.

Passo 2

Derivada e significado — vamos aprender e calcular a derivada de f.
O que é derivada aqui: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente em cada ponto; com ela determinamos onde a função cresce ou decresce (monotonicidade) e onde há extremos locais.
Como f é produto de duas funções ( x e e^{x}), usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{x}. Então u'(x)=1 e v'(x)=e^{x}. Aplicando:
f'(x) = (x)' e^{x} + x (e^{x})' = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x}(1+x).
Observação importante: e^{x}>0 para todo x, então o sinal de f'(x) depende apenas de 1+x.

Passo 3

Pontos críticos e monotonicidade — achar onde f'(x)=0 e analisar sinais.
Igualando a derivada a zero:
f'(x)=e^{x}(1+x)=0 \quad\Rightarrow\quad e^{x}=0 \\ \text{ou}\\\ 1+x=0.
Como e^{x}\neq0 nunca, segue 1+x=0, isto é x=-1. Então existe um único ponto crítico em x=-1.
Agora o teste de sinal (já que e^{x}>0):
  • Para x<-1: 1+x<0 \Rightarrow f'(x)<0 então f é decrescente.
  • Para x>-1: 1+x>0 \Rightarrow f'(x)>0 então f é crescente.
Conclusão: x=-1 é um mínimo local. Vamos calcular o valor da função lá:
f(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e}\approx -0,3679.

Passo 4

Segunda derivada e concavidade — achar pontos de inflexão.
Derivando f'(x)=e^{x}(1+x) novamente (novamente regra do produto ou observando fator comum):
f''(x) = \frac{d}{dx}\big(e^{x}(1+x)\big) = e^{x}(1+x) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}(1+x+1)=e^{x}(x+2).
Como e^{x}>0, o sinal de f''(x) depende de x+2.
  • f''(x)=0 \Rightarrow x+2=0 \Rightarrow x=-2. Então há um ponto de inflexão em x=-2.
  • Para x<-2: x+2<0 \Rightarrow f''(x)<0 — função côncava para baixo.
  • Para x>-2: x+2>0 \Rightarrow f''(x)>0 — função côncava para cima.
Valor da função no ponto de inflexão:
f(-2)=(-2)e^{-2}=-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0,2707.
Observação geométrica: o ponto de inflexão ( x=-2) está à esquerda do mínimo ( x=-1). Isso significa que a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima antes de atingir o mínimo.

Passo 5

Interceptos e tangente em 0.
  • Raízes: resolver f(x)=0:
x e^{x}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0
(portanto a única raiz é x=0). Isso também é o intercepto y porque f(0)=0. Logo a curva passa pela origem (0,0).
  • Inclinação no ponto 0: f'(0)=e^{0}(1+0)=1. Portanto a reta tangente em (0,0) é y=x.

Passo 6

Comportamento nas extremidades (limites).
  • Para x\to+\infty: e^{x} cresce muito rápido e x cresce; assim
\lim_{x\to+\infty} x e^{x}=+\infty.
Logo a curva sobe sem limite para a direita.
  • Para x\to-\infty: e^{x}\to 0^{+} e x\to -\infty, o produto tende a zero. Mais formalmente, usando x=-t com t\to+\infty,
\lim_{x\to-\infty} x e^{x} = \lim_{t\to+\infty} (-t)e^{-t} = 0^{-}.
Portanto a função tende a 0 pela esquerda, vindo de valores negativos (assintota horizontal y=0 no sentido que a função se aproxima de 0 à esquerda, mas note que o gráfico cruza exatamente em 0).

Passo 7

Resumo dos pontos-chave numéricos para desenhar:
  • Intercepto x e y: (0,0).
  • Mínimo local: x=-1, f(-1)=-\dfrac{1}{e}\approx -0,3679.
  • Ponto de inflexão: x=-2, f(-2)=-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0,2707.
  • Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-1), crescente em (-1,+\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-2), côncava para cima em (-2,+\infty).
  • Limites: tende a 0^{-} quando x\to-\infty e tende a +\infty quando x\to+\infty.
  • Tangente em 0: reta y=x com inclinação 1.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (prático, na folha):
  1. Desenhar eixos x e y. Marcar os pontos (-2,-0,2707), (-1,-0,3679) e (0,0).
  2. Para x\ll-2 a curva está perto de y=0 vindo de baixo e é côncava para baixo; desenhar uma aproximação suave vindo de y\approx0^{-} até o ponto de inflexão.
  3. Em x=-2 mudar a curvatura (inflection) e continuar descendo um pouco até o mínimo em (-1,-1/e).
  4. A partir de (-1,-1/e) a função sobe, passa por (0,0) com inclinação 1 (reta tangente y=x), e cresce rapidamente para cima para a direita.
  5. Certificar que a curva é cada vez mais inclinada para x>0 (devido ao crescimento exponencial).
Dica de verificação rápida: calcule f'(x) em alguns pontos (por exemplo x=-3,-2,-1,0,1) para conferir a inclinação do esboço.

Resposta

Pontos importantes e comportamento para esboçar f(x)=x e^{x}:
Intercepto: (0,0).
Mínimo local: \left(-1,-\dfrac{1}{e}\right)\approx(-1,-0,3679).
Ponto de inflexão: \left(-2,-\dfrac{2}{e^{2}}\right)\approx(-2,-0,2707).
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-1), crescente em (-1,+\infty).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-2), côncava para cima em (-2,+\infty).
Limites: \lim_{x\to-\infty}x e^{x}=0^{-}, \lim_{x\to+\infty}x e^{x}=+\infty.
Tangent at origin: slope f'(0)=1 (reta tangente y=x).

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