Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações que temos diretamente da função:
Informações que temos diretamente da função:
- A função é
. - Preciso encontrar interceptos, extremos, pontos de inflexão, monotonicidade, concavidade e comportamento nas extremidades (limites quando
) para poder desenhar um esboço confiável.
Passo 2
Derivada e significado — vamos aprender e calcular a derivada de
.
O que é derivada aqui: a derivada dá a inclinação da reta tangente em cada ponto; com ela determinamos onde a função cresce ou decresce (monotonicidade) e onde há extremos locais.
O que é derivada aqui: a derivada
Como
é produto de duas funções (
e
), usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se
e
são funções, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Observação importante:
para todo
, então o sinal de
depende apenas de
.
Passo 3
Pontos críticos e monotonicidade — achar onde
e analisar sinais.
Igualando a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
Como
nunca, segue
, isto é
. Então existe um único ponto crítico em
.
Agora o teste de sinal (já que
):
- Para
: então é decrescente. - Para
: então é crescente.
Conclusão:
é um mínimo local. Vamos calcular o valor da função lá:
Passo 4
Segunda derivada e concavidade — achar pontos de inflexão.
Derivando novamente (novamente regra do produto ou observando fator comum):
Derivando
Como
, o sinal de
depende de
.
-
. Então há um ponto de inflexão em . - Para
: — função côncava para baixo. - Para
: — função côncava para cima.
Valor da função no ponto de inflexão:
Observação geométrica: o ponto de inflexão (
) está à esquerda do mínimo (
). Isso significa que a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima antes de atingir o mínimo.
Passo 5
Interceptos e tangente em
.
- Raízes: resolver
:
(portanto a única raiz é
). Isso também é o intercepto
porque
. Logo a curva passa pela origem
.
- Inclinação no ponto
: . Portanto a reta tangente em é .
Passo 6
Comportamento nas extremidades (limites).
- Para
: cresce muito rápido e cresce; assim
Logo a curva sobe sem limite para a direita.
- Para
: e , o produto tende a zero. Mais formalmente, usando com ,
Portanto a função tende a
pela esquerda, vindo de valores negativos (assintota horizontal
no sentido que a função se aproxima de 0 à esquerda, mas note que o gráfico cruza exatamente em
).
Passo 7
Resumo dos pontos-chave numéricos para desenhar:
- Intercepto
e : . - Mínimo local:
, . - Ponto de inflexão:
, . - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em . - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Limites: tende a
quando e tende a quando . - Tangente em
: reta com inclinação .
Passo 8
Como esboçar passo a passo (prático, na folha):
- Desenhar eixos
e . Marcar os pontos , e . - Para
a curva está perto de vindo de baixo e é côncava para baixo; desenhar uma aproximação suave vindo de até o ponto de inflexão. - Em
mudar a curvatura (inflection) e continuar descendo um pouco até o mínimo em . - A partir de
a função sobe, passa por com inclinação (reta tangente ), e cresce rapidamente para cima para a direita. - Certificar que a curva é cada vez mais inclinada para
(devido ao crescimento exponencial).
Dica de verificação rápida: calcule
em alguns pontos (por exemplo
) para conferir a inclinação do esboço.
Resposta
Pontos importantes e comportamento para esboçar
:
Intercepto: .
Mínimo local: .
Ponto de inflexão: .
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Limites: ,
.
Tangent at origin: slope (reta tangente
).
Intercepto:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Limites:
Tangent at origin: slope