Explique com suas palavras (em termos gerais) uma das propriedades descritas pela Proposição 1 (pág. 251 da apostila “Grupos”).

Passo 1

O enunciado pede: explicar, com minhas palavras e em termos gerais, uma das propriedades listadas na Proposição 1 (pág. 251). Vou escolher uma propriedade para explicar e provar passo a passo, assumindo apenas as hipóteses básicas que a proposição usa. As informações relevantes que temos (retiradas do contexto da proposição) são:
  • Existe um conjunto com uma operação binária (vou escrever os elementos como a,b,\ldots e o produto como justaposição ab).
  • Há um elemento neutro, que chamo de e, tal que para todo elemento x vale \,ex=xe=x.
  • Para cada elemento x existe um elemento x^{-1} (chamado inverso de x) tal que \,xx^{-1}=x^{-1}x=e.
  • A operação é associativa: para quaisquer x,y,z vale (xy)z=x(yz).
Nada mais é exigido: com essas hipóteses vou explicar uma propriedade (escolhida) e mostrá-la rigorosamente.

Passo 2

Vou explicar e provar a propriedade que diz, em forma curta:
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
Em palavras simples: “o inverso do produto de dois elementos é o produto das inversas, mas em ordem invertida”. Intuitivamente, se a faz uma transformação e depois b faz outra, para desfazer as duas operações é preciso primeiro desfazer a última ( b), depois desfazer a primeira ( a) — por isso a ordem inverte.

Passo 3

Agora a prova rigorosa, bem passo a passo, usando só as hipóteses listadas.
Queremos mostrar que b^{-1}a^{-1} é o inverso de ab. Para isso basta verificar que multiplicando ab por b^{-1}a^{-1} (à direita e à esquerda) obtemos o elemento neutro e.
Primeiro calcule (ab)(b^{-1}a^{-1}). Usando associatividade (xy)z=x(yz) e a propriedade de inverso de b:
(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a\bigl(b b^{-1}\bigr)a^{-1}.
Como \,b b^{-1}=e, isso fica
a\bigl(b b^{-1}\bigr)a^{-1} = a e a^{-1}.
Como e é neutro, a e = a, logo
a e a^{-1} = a a^{-1}.
E por definição de inverso a a^{-1}=e. Portanto
(ab)(b^{-1}a^{-1})=e.

Passo 4

Agora verifiquemos o produto no outro lado: (b^{-1}a^{-1})(ab). De novo usando associatividade e as propriedades de inverso:
(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}\bigl(a^{-1}a\bigr)b.
Como a^{-1}a=e, isso dá
b^{-1}\bigl(a^{-1}a\bigr)b = b^{-1} e b = b^{-1} b = e.
Portanto também (b^{-1}a^{-1})(ab)=e.

Passo 5

Concluímos que b^{-1}a^{-1} é um elemento que, multiplicado por ab à direita e à esquerda, dá e. Pela propriedade (geralmente já provada em proposições anteriores) de unicidade do inverso, o inverso de um elemento é único; assim b^{-1}a^{-1} deve ser exatamente (ab)^{-1}. Isso completa a prova formal de
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

Passo 6

Breve justificativa da unicidade do inverso (pois usei isso acima): se um elemento x tem dois inversos u e v tais que xu=ux=e e xv=vx=e, então
u = u e = u(xv) = (u x) v = e v = v,
logo u=v. Esse pequeno argumento mostra que não há ambiguidade em falar “o inverso”.

Passo 7

Algumas observações práticas e intuição para a prova:
  • A chave foi usar associatividade para agrupar de modo a produzir um par elemento–seu inverso adjacente, porque daí surge o neutro.
  • A ordem é invertida: isso acontece sempre quando se toma inverso de um produto — por isso, para mais de dois fatores,
(a_1 a_2 \cdots a_n)^{-1} = a_n^{-1}\cdots a_2^{-1} a_1^{-1}.
Esse resultado segue facilmente por indução, aplicando a propriedade para dois fatores repetidamente.
  • Exemplo mental: se a e b representam operações (como “girar” e depois “escalar”), para desfazer as duas operações é preciso desfazer a segunda primeiro; por isso aparece b^{-1} antes de a^{-1} no produto que desfaz tudo.

Passo 8

Dica para a prova em prova de faculdade: quando tiver que mostrar que algo é inverso de algo, faça exatamente os dois produtos (direita e esquerda) e mostre que ambos dão e; use associatividade para colocar juntos os pares xx^{-1} ou x^{-1}x. E se aparecer uma expressão com vários fatores, procure agrupar de modo a obter um fator e seu inverso adjacente.

Resposta

(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}

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