Explique com suas palavras (em termos gerais) uma das propriedades descritas pela Proposição 1 (pág. 251 da apostila “Grupos”).
Passo 1
O enunciado pede: explicar, com minhas palavras e em termos gerais, uma das propriedades listadas na Proposição 1 (pág. 251). Vou escolher uma propriedade para explicar e provar passo a passo, assumindo apenas as hipóteses básicas que a proposição usa. As informações relevantes que temos (retiradas do contexto da proposição) são:
- Existe um conjunto com uma operação binária (vou escrever os elementos como
e o produto como justaposição ). - Há um elemento neutro, que chamo de
, tal que para todo elemento vale . - Para cada elemento
existe um elemento (chamado inverso de ) tal que . - A operação é associativa: para quaisquer
vale .
Nada mais é exigido: com essas hipóteses vou explicar uma propriedade (escolhida) e mostrá-la rigorosamente.
Passo 2
Vou explicar e provar a propriedade que diz, em forma curta:
Em palavras simples: “o inverso do produto de dois elementos é o produto das inversas, mas em ordem invertida”. Intuitivamente, se
faz uma transformação e depois
faz outra, para desfazer as duas operações é preciso primeiro desfazer a última (
), depois desfazer a primeira (
) — por isso a ordem inverte.
Passo 3
Agora a prova rigorosa, bem passo a passo, usando só as hipóteses listadas.
Queremos mostrar que é o inverso de
. Para isso basta verificar que multiplicando
por
(à direita e à esquerda) obtemos o elemento neutro
.
Queremos mostrar que
Primeiro calcule
. Usando associatividade
e a propriedade de inverso de
:
Como
, isso fica
Como
é neutro,
, logo
E por definição de inverso
. Portanto
Passo 4
Agora verifiquemos o produto no outro lado:
. De novo usando associatividade e as propriedades de inverso:
Como
, isso dá
Portanto também
.
Passo 5
Concluímos que
é um elemento que, multiplicado por
à direita e à esquerda, dá
. Pela propriedade (geralmente já provada em proposições anteriores) de unicidade do inverso, o inverso de um elemento é único; assim
deve ser exatamente
. Isso completa a prova formal de
Passo 6
Breve justificativa da unicidade do inverso (pois usei isso acima): se um elemento
tem dois inversos
e
tais que
e
, então
logo
. Esse pequeno argumento mostra que não há ambiguidade em falar “o inverso”.
Passo 7
Algumas observações práticas e intuição para a prova:
- A chave foi usar associatividade para agrupar de modo a produzir um par elemento–seu inverso adjacente, porque daí surge o neutro.
- A ordem é invertida: isso acontece sempre quando se toma inverso de um produto — por isso, para mais de dois fatores,
Esse resultado segue facilmente por indução, aplicando a propriedade para dois fatores repetidamente.
- Exemplo mental: se
e representam operações (como “girar” e depois “escalar”), para desfazer as duas operações é preciso desfazer a segunda primeiro; por isso aparece antes de no produto que desfaz tudo.
Passo 8
Dica para a prova em prova de faculdade: quando tiver que mostrar que algo é inverso de algo, faça exatamente os dois produtos (direita e esquerda) e mostre que ambos dão
; use associatividade para colocar juntos os pares
ou
. E se aparecer uma expressão com vários fatores, procure agrupar de modo a obter um fator e seu inverso adjacente.