Seja f: A \longrightarrow B um homomorfismo entre os anéis A e B. Prove que se I é um ideal de A, então f(I) é um subanel de f(A) (Propriedade 7 - Proposição 1 da pág. 18 da apostila “Homomorfismos de Anéis”.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Tem-se um homomorfismo de anéis f: A \longrightarrow B.
  • Tem-se um ideal I do anel A.
  • O que se pede: provar que f(I) é um subanel de f(A).
Resumo das informações relevantes:
  • f é um homomorfismo de anéis, logo preserva soma, produto e o elemento neutro aditivo: para quaisquer x,y\in A,
f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(xy)=f(x)f(y),\qquad f(0_A)=0_B.
  • I é ideal de A, isto é:
    • I é um subgrupo aditivo de A: para quaisquer a,a'\in I vale a+a'\in I e -a\in I;
    • e é absorvente por multiplicação por elementos de A: para quaisquer a\in I e r\in A vale ra\in I e ar\in I.
O objetivo é mostrar, passo a passo, que f(I) é um subanel de f(A). Não se deve confundir: a afirmação usual mais forte é que f(I) é um ideal de f(A); mostrar isso implica, em particular, que é um subanel.

Passo 2

Lembrando o que significa “subanel” e "ideal de f(A)" no contexto:
  • Um subconjunto S de um anel R é subanel se for subgrupo aditivo de R e fechado sob produto (isto é, para quaisquer x,y\in S tem-se xy\in S). Outra definição equivalente é: S é subanel se contiver 0, for fechado sob soma e inverso aditivo, e fechado sob produto.
  • Um ideal J de um anel R é um subgrupo aditivo de R tal que para todo r\in R e x\in J tem-se rx\in J e xr\in J. Logo, se conseguirmos provar que f(I) é um ideal de f(A), então automaticamente f(I) é um subanel de f(A).
Vou provar primeiro que f(I)\subseteq f(A), depois que f(I) é um subgrupo aditivo de f(A) (fechamento sob soma, existência de inversos, presença do zero) e por fim que f(I) é absorvente por multiplicação por elementos de f(A) (propriedade de ideal).

Passo 3

Mostrar que f(I)\subseteq f(A).
Explicação: por definição f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}. Se x\in f(I), então existe a\in I tal que x=f(a). Como I\subseteq A, esse a também pertence a A, portanto x=f(a)\in f(A). Conclusão:
f(I)\subseteq f(A).
Isso é quase imediato, mas importante para garantir que faz sentido falar em f(I) como subconjunto de f(A).

Passo 4

Mostrar que f(I) contém o elemento neutro aditivo 0_{f(A)} e é fechado sob soma.
Primeiro, 0_{f(A)} é simplesmente 0_B, que é f(0_A) pois homomorfismos preservam o zero. Como I é um ideal, 0_A\in I. Logo f(0_A)=0_B\in f(I). Portanto 0_{f(A)}\in f(I).
Agora fechamento sob soma: tome dois elementos arbitrários de f(I). Existem a,a'\in I tais que f(a),f(a')\in f(I). Como f preserva soma,
f(a)+f(a')=f(a+a').
Como I é subgrupo aditivo, a+a'\in I; daí f(a+a')\in f(I). Assim a soma de quaisquer dois elementos de f(I) pertence a f(I). Concluímos fechamento sob soma.

Passo 5

Mostrar que f(I) é fechado sob inverso aditivo (contém negativos).
Tome x\in f(I). Então existe a\in I com x=f(a). Como I é subgrupo aditivo, -a\in I. Usando que f é homomorfismo,
-f(a)=f(-a).
Como -a\in I, segue f(-a)\in f(I). Portanto -x\in f(I). Assim f(I) é um subgrupo aditivo de f(A) (tem 0, fechado sob soma e sob inversos).

Passo 6

Mostrar que f(I) é absorvente por multiplicação por elementos de f(A) (propriedade de ideal em f(A)).
Tomemos um elemento arbitrário r\in f(A) e um elemento arbitrário x\in f(I). Então existem b\in A e a\in I tais que r=f(b) e x=f(a). Calculemos o produto em B:
r\cdot x = f(b)\,f(a).
Pela propriedade multiplicativa de homomorfismo, isso é
f(b)\,f(a)=f(ba).
Agora, como I é ideal de A, e a\in I, temos ba\in I (e também ab\in I se quisermos o produto do outro lado). Portanto f(ba)\in f(I). Assim r x \in f(I).
O mesmo raciocínio vale para o produto na ordem oposta:
x\cdot r = f(a)f(b)=f(ab),
e como ab\in I temos f(ab)\in f(I). Portanto x r\in f(I).
Concluímos que para todo r\in f(A) e x\in f(I) vale r x\in f(I) e x r\in f(I). Ou seja, f(I) é um ideal de f(A).

Passo 7

Conclusão final do argumento e uma observação didática.
Reunindo os passos anteriores:
  • f(I)\subseteq f(A).
  • f(I) é subgrupo aditivo de f(A) (contém 0, fechado sob soma e inversos).
  • f(I) é absorvente por multiplicação por elementos de f(A).
Logo f(I) é um ideal de f(A). Como ideal é em particular um subanel, obtemos que f(I) é um subanel de f(A), que era o que se pedia.
Observação didática rápida (útil para a prova): a imagem de um ideal por um homomorfismo nem sempre é ideal do anel alvo B; é ideal apenas do subanel imagem f(A). Um exemplo simples para fixar a ideia: considere a inclusão i: \mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q} e o ideal 2\mathbb{Z} de \mathbb{Z}. A imagem i(2\mathbb{Z})=2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} não é ideal de \mathbb{Q} (pois \tfrac{1}{2}\cdot 2 =1\notin 2\mathbb{Z}), mas é ideal do subanel i(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}.

Resposta

f(I) é um ideal de f(A) e, em particular, um subanel de f(A).

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