Seja
um homomorfismo entre os anéis
e
. Prove que se
é um ideal de
, então
é um subanel de
(Propriedade 7 - Proposição 1 da pág. 18 da apostila “Homomorfismos de Anéis”.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Tem-se um homomorfismo de anéis
. - Tem-se um ideal
do anel . - O que se pede: provar que
é um subanel de .
Resumo das informações relevantes:
-
é um homomorfismo de anéis, logo preserva soma, produto e o elemento neutro aditivo: para quaisquer ,
-
é ideal de , isto é: -
é um subgrupo aditivo de : para quaisquer vale e ; - e é absorvente por multiplicação por elementos de
: para quaisquer e vale e .
-
O objetivo é mostrar, passo a passo, que
é um subanel de
. Não se deve confundir: a afirmação usual mais forte é que
é um ideal de
; mostrar isso implica, em particular, que é um subanel.
Passo 2
Lembrando o que significa “subanel” e "ideal de
" no contexto:
- Um subconjunto
de um anel é subanel se for subgrupo aditivo de e fechado sob produto (isto é, para quaisquer tem-se ). Outra definição equivalente é: é subanel se contiver , for fechado sob soma e inverso aditivo, e fechado sob produto. - Um ideal
de um anel é um subgrupo aditivo de tal que para todo e tem-se e . Logo, se conseguirmos provar que é um ideal de , então automaticamente é um subanel de .
Vou provar primeiro que
, depois que
é um subgrupo aditivo de
(fechamento sob soma, existência de inversos, presença do zero) e por fim que
é absorvente por multiplicação por elementos de
(propriedade de ideal).
Passo 3
Mostrar que
.
Explicação: por definição
. Se
, então existe
tal que
. Como
, esse
também pertence a
, portanto
. Conclusão:
Isso é quase imediato, mas importante para garantir que faz sentido falar em
como subconjunto de
.
Passo 4
Mostrar que
contém o elemento neutro aditivo
e é fechado sob soma.
Primeiro,
é simplesmente
, que é
pois homomorfismos preservam o zero. Como
é um ideal,
. Logo
. Portanto
.
Agora fechamento sob soma: tome dois elementos arbitrários de
. Existem
tais que
. Como
preserva soma,
Como
é subgrupo aditivo,
; daí
. Assim a soma de quaisquer dois elementos de
pertence a
. Concluímos fechamento sob soma.
Passo 5
Mostrar que
é fechado sob inverso aditivo (contém negativos).
Tome
. Então existe
com
. Como
é subgrupo aditivo,
. Usando que
é homomorfismo,
Como
, segue
. Portanto
. Assim
é um subgrupo aditivo de
(tem
, fechado sob soma e sob inversos).
Passo 6
Mostrar que
é absorvente por multiplicação por elementos de
(propriedade de ideal em
).
Tomemos um elemento arbitrário
e um elemento arbitrário
. Então existem
e
tais que
e
. Calculemos o produto em
:
Pela propriedade multiplicativa de homomorfismo, isso é
Agora, como
é ideal de
, e
, temos
(e também
se quisermos o produto do outro lado). Portanto
. Assim
.
O mesmo raciocínio vale para o produto na ordem oposta:
e como
temos
. Portanto
.
Concluímos que para todo
e
vale
e
. Ou seja,
é um ideal de
.
Passo 7
Conclusão final do argumento e uma observação didática.
Reunindo os passos anteriores:
-
. -
é subgrupo aditivo de (contém , fechado sob soma e inversos). -
é absorvente por multiplicação por elementos de .
Logo
é um ideal de
. Como ideal é em particular um subanel, obtemos que
é um subanel de
, que era o que se pedia.
Observação didática rápida (útil para a prova): a imagem de um ideal por um homomorfismo nem sempre é ideal do anel alvo
; é ideal apenas do subanel imagem
. Um exemplo simples para fixar a ideia: considere a inclusão
e o ideal
de
. A imagem
não é ideal de
(pois
), mas é ideal do subanel
.