Seja
um homomorfismo entre os anéis
e
. Prove que se
é um subanel de
, então
é um subanel de
(Propriedade 5 - Proposição 1 da pág. 18 da apostila “Homomorfismos de Anéis”.
Passo 1
O enunciado dá um homomorfismo de anéis
e um subanel
de
. O que se pede provar é que a imagem
é um subanel de
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é homomorfismo de anéis, isto é, para todos vale (Também se usa que e , propriedades que decorrem das anteriores.) -
é subanel de . Em particular: -
e . -
é fechado sob subtração: se então . -
é fechado sob multiplicação: se então .
-
O que preciso provar:
-
(isto é imediato, pois ). -
é um subanel de : ou seja, é não vazio e é fechado sob subtração e multiplicação (com as operações herdadas de ).
Passo 2
Lembrete didático das ferramentas que vamos usar (cada item será aplicado explicitamente):
- Definição de imagem de um conjunto:
. - Propriedade básica de homomorfismo: para todo
, porque e . Vou mostrar à parte porquê : como , então é o oposto de . - Outra propriedade: para todo
, - Definição prática de subanel que usarei: um subconjunto não vazio fechado sob subtração e fechado sob multiplicação é um subanel. Essa escolha é útil porque verifica-se apenas duas propriedades (subtração e multiplicação), e a presença do
vem junto do não vazio.
Passo 3
Mostro que
é não vazio (tem o
pelo menos).
Como
é subanel,
. Aplicando
obtemos
. Pelo homomorfismo,
em
. Logo
. Portanto
é não vazio e contém o elemento neutro aditivo de
.
Passo 4
Fechamento sob subtração.
Sejam
. Por definição de imagem existem
tais que
Como
é subanel,
. Usando que
preserva subtração (ou somas e opostos),
Como
, segue que
. Portanto
. Assim
é fechado sob subtração.
Observação pedagógica: esse passo usa duas ideias simples: (i) elementos da imagem vêm de elementos do domínio; (ii) se o domínio é fechado para a operação, então a imagem é fechada porque
transforma a operação no domínio na operação correspondente no contradomínio.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação.
Sejam
. Como antes, existem
com
e
. Como
é subanel,
. Pela propriedade do homomorfismo,
Como
, temos
. Logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
Conclusão e verificação de que estamos realmente dentro de
.
- Primeiro,
porque todo também pertence a , então . Portanto faz sentido dizer "subanel de ". - Fizemos as verificações necessárias:
é não vazio (contém ), fechado sob subtração e fechado sob multiplicação, com as operações herdadas de . Pelas definições usadas, isso implica que é um subanel de .
Pequena observação extra (opcional): se o homomorfismo
preserva unidade e
contém a unidade de
, então
conterá a unidade de
. Mas essa verificação não foi necessária para a prova principal, que usa a definição de subanel por fechamento.