Seja f: A \longrightarrow B um homomorfismo entre os anéis A e B. Prove que se A^{\prime} é um subanel de A, então f\left(A^{\prime}\right) é um subanel de f(A) (Propriedade 5 - Proposição 1 da pág. 18 da apostila “Homomorfismos de Anéis”.

Passo 1

O enunciado dá um homomorfismo de anéis f: A \longrightarrow B e um subanel A' de A. O que se pede provar é que a imagem f\left(A'\right) é um subanel de f(A).
Informações relevantes fornecidas:
  • f: A \to B é homomorfismo de anéis, isto é, para todos x,y\in A vale f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(xy)=f(x)f(y).(Também se usa que f(0)=0 e f(-x)=-f(x), propriedades que decorrem das anteriores.)
  • A' é subanel de A. Em particular:
    • A'\neq\varnothing e 0\in A'.
    • A' é fechado sob subtração: se a,b\in A' então a-b\in A'.
    • A' é fechado sob multiplicação: se a,b\in A' então ab\in A'.
O que preciso provar:
  • f\left(A'\right)\subseteq f(A) (isto é imediato, pois A'\subseteq A).
  • f\left(A'\right) é um subanel de f(A): ou seja, f(A') é não vazio e é fechado sob subtração e multiplicação (com as operações herdadas de f(A)).

Passo 2

Lembrete didático das ferramentas que vamos usar (cada item será aplicado explicitamente):
  • Definição de imagem de um conjunto: \displaystyle f(A')=\{\,f(a)\mid a\in A'\,\}.
  • Propriedade básica de homomorfismo: para todo a,b\in A, f(a-b)=f(a)-f(b)porque a-b=a+(-b) e f(-b)=-f(b). Vou mostrar à parte porquê f(-b)=-f(b): como 0=f(b)+f(-b)=f(b+(-b))=f(0)=0, então f(-b) é o oposto de f(b).
  • Outra propriedade: para todo a,b\in A, f(ab)=f(a)f(b).
  • Definição prática de subanel que usarei: um subconjunto não vazio fechado sob subtração e fechado sob multiplicação é um subanel. Essa escolha é útil porque verifica-se apenas duas propriedades (subtração e multiplicação), e a presença do 0 vem junto do não vazio.

Passo 3

Mostro que f\left(A'\right) é não vazio (tem o 0 pelo menos).
Como A' é subanel, 0\in A'. Aplicando f obtemos f(0)\in f(A'). Pelo homomorfismo, f(0)=0 em B. Logo 0\in f(A'). Portanto f(A') é não vazio e contém o elemento neutro aditivo de f(A).

Passo 4

Fechamento sob subtração.
Sejam x,y\in f(A'). Por definição de imagem existem a,b\in A' tais que
x=f(a),\qquad y=f(b).
Como A' é subanel, a-b\in A'. Usando que f preserva subtração (ou somas e opostos),
x-y = f(a)-f(b) = f(a-b).
Como a-b\in A', segue que f(a-b)\in f(A'). Portanto x-y\in f(A'). Assim f(A') é fechado sob subtração.
Observação pedagógica: esse passo usa duas ideias simples: (i) elementos da imagem vêm de elementos do domínio; (ii) se o domínio é fechado para a operação, então a imagem é fechada porque f transforma a operação no domínio na operação correspondente no contradomínio.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação.
Sejam x,y\in f(A'). Como antes, existem a,b\in A' com x=f(a) e y=f(b). Como A' é subanel, ab\in A'. Pela propriedade do homomorfismo,
x\cdot y = f(a)\,f(b) = f(ab).
Como ab\in A', temos f(ab)\in f(A'). Logo x\cdot y\in f(A'). Portanto f(A') é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Conclusão e verificação de que estamos realmente dentro de f(A).
  • Primeiro, f(A')\subseteq f(A) porque todo a\in A' também pertence a A, então f(a)\in f(A). Portanto faz sentido dizer "subanel de f(A)".
  • Fizemos as verificações necessárias: f(A') é não vazio (contém 0), fechado sob subtração e fechado sob multiplicação, com as operações herdadas de f(A). Pelas definições usadas, isso implica que f(A') é um subanel de f(A).
Pequena observação extra (opcional): se o homomorfismo f preserva unidade e A' contém a unidade de A, então f(A') conterá a unidade de f(A). Mas essa verificação não foi necessária para a prova principal, que usa a definição de subanel por fechamento.

Resposta

f\left(A'\right) é um subanel de f(A).

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