Derive a função.
z=\frac{A}{v^{10}}+B e^{y}

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\frac{A}{v^{10}}+B e^{y},
onde A e B são constantes e as variáveis independentes aparentes são v e y. A instrução “Derive a função” será entendida aqui como calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial v} e \dfrac{\partial z}{\partial y} (isto é o que se costuma pedir quando z depende de duas variáveis), e também escrever o diferencial total \mathrm{d}z. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro simplifico a escrita do termo que contém v, escrevendo-o com expoente negativo:
\frac{A}{v^{10}} = A v^{-10}.
Isso facilita aplicar a regra de potência ao derivar em relação a v.

Passo 3

Lembrete de regra (explicação didática): a regra de potência diz que, para qualquer expoente real n,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v} v^{n} = n v^{n-1}.
Aqui n=-10. Aplicar essa regra significa multiplicar por n e diminuir o expoente em 1. Também lembrando que, ao fazer derivada parcial em relação a v, tratamos y (e constantes A,B) como constantes.

Passo 4

Aplicando a regra de potência ao termo A v^{-10}:
\frac{\partial}{\partial v}\bigl( A v^{-10}\bigr) = A \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v} v^{-10} = A\cdot(-10)\,v^{-11}.
Ou seja,
\frac{\partial}{\partial v}\bigl( A v^{-10}\bigr) = -10 A v^{-11} = -\frac{10A}{v^{11}}.

Passo 5

Agora a derivada parcial em relação a v do segundo termo B e^{y}. Como B e^{y} não depende de v (a variável dessa derivada é v), esse termo é tratado como constante, portanto:
\frac{\partial}{\partial v}\bigl(B e^{y}\bigr)=0.

Passo 6

Combinando os resultados dos dois termos, obtemos a derivada parcial de z em relação a v:
\frac{\partial z}{\partial v} = -\frac{10A}{v^{11}}.

Passo 7

Agora a derivada parcial em relação a y. Lembrete de regra (explicação didática): a derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} e^{y} = e^{y}.
Ao derivar em relação a y tratamos v (e A,B) como constantes.

Passo 8

Aplicando isso termo a termo:
  • O termo A v^{-10} não depende de y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(A v^{-10}\bigr)=0.
  • O termo B e^{y}
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(B e^{y}\bigr)=B\cdot e^{y}.

Passo 9

Portanto a derivada parcial de z em relação a y é
\frac{\partial z}{\partial y}=B e^{y}.

Passo 10

Agora escrevo o diferencial total \mathrm{d}z. Definição e uso: para uma função z(v,y), o diferencial total aproxima as variações pequenas por
\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial v}\,\mathrm{d}v+\frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y.
Substituindo as derivadas parciais encontradas, fica
\mathrm{d}z=-\frac{10A}{v^{11}}\,\mathrm{d}v + B e^{y}\,\mathrm{d}y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=-\frac{10A}{v^{11}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=B e^{y}
\displaystyle \mathrm{d}z=-\frac{10A}{v^{11}}\,\mathrm{d}v + B e^{y}\,\mathrm{d}y

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