Derive a função.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
e
são constantes e as variáveis independentes aparentes são
e
. A instrução “Derive a função” será entendida aqui como calcular as derivadas parciais
e
(isto é o que se costuma pedir quando
depende de duas variáveis), e também escrever o diferencial total
. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro simplifico a escrita do termo que contém
, escrevendo-o com expoente negativo:
Isso facilita aplicar a regra de potência ao derivar em relação a
.
Passo 3
Lembrete de regra (explicação didática): a regra de potência diz que, para qualquer expoente real
,
Aqui
. Aplicar essa regra significa multiplicar por
e diminuir o expoente em 1. Também lembrando que, ao fazer derivada parcial em relação a
, tratamos
(e constantes
) como constantes.
Passo 4
Aplicando a regra de potência ao termo
:
Ou seja,
Passo 5
Agora a derivada parcial em relação a
do segundo termo
. Como
não depende de
(a variável dessa derivada é
), esse termo é tratado como constante, portanto:
Passo 6
Combinando os resultados dos dois termos, obtemos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora a derivada parcial em relação a
. Lembrete de regra (explicação didática): a derivada de
em relação a
é
:
Ao derivar em relação a
tratamos
(e
) como constantes.
Passo 8
Aplicando isso termo a termo:
- O termo
não depende de , logo
- O termo
dá
Passo 9
Portanto a derivada parcial de
em relação a
é
Passo 10
Agora escrevo o diferencial total
. Definição e uso: para uma função
, o diferencial total aproxima as variações pequenas por
Substituindo as derivadas parciais encontradas, fica