Explique o que é um ponto crítico. Dê exemplos de pontos críticos em que a função não é derivável. Explique a diferença entre máximo local e máximo (global). Explique também a diferença entre mínimo local e mínimo (global).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar o que é um ponto crítico.
- Dar exemplos de pontos críticos em que a função não é derivável.
- Explicar a diferença entre máximo local e máximo (global).
- Explicar a diferença entre mínimo local e mínimo (global).
Informações relevantes dadas (o que preciso responder):
- Definição formal e intuição do que é ponto crítico.
- Exemplos concretos de funções com pontos onde a derivada não existe.
- Definições formais e exemplos contrastando local vs global para máximos e mínimos.
Passo 2
Definição formal e comentário intuitivo sobre ponto crítico.
Definição (formal):
Um ponto do domínio de uma função
é chamado de ponto crítico se pelo menos uma das seguintes condições ocorre:
Um ponto
Observação importante: se
tem um extremo local (máximo ou mínimo) em
e
é diferenciável em
, então necessariamente
. Esta afirmação é o Teorema de Fermat. Por isso, para encontrar candidatos a extremos verificamos onde
e também onde
não existe (desde que o ponto esteja no domínio).
Intuição:
- “Ponto crítico” é qualquer ponto onde a regra usual (derivada diferente de zero) falha para dizer que a função está subindo/descendo de forma regular. Ou seja, é onde a derivada é zero (reta tangente horizontal) ou onde a derivada não existe (canto, cúspide, ou tangente vertical).
Passo 3
Tipos de pontos onde a derivada não existe — explicando com nomes e o que acontece com a função:
- Canto (corner): a curva tem duas retas com inclinações distintas que se juntam num ponto. Exemplo típico: valor absoluto.
- Cúspide (cusp): a inclinação vai para
de um lado e do outro. - Tangente vertical: a inclinação tende a
mas a curva é suave (por exemplo, tem tangente vertical em zero).
Em todos esses casos a derivada em
não existe, mas
pode ou não ser extremo — é preciso analisar.
Passo 4
Exemplo 1 (canto):
em
.
Cálculo e explicação passo a passo:
- Para
, então . - Para
, então . - As derivadas laterais em
são
portanto
não existe (pois as derivadas laterais não coincidem).
- Verificação de extremo:
para todo e , então é um mínimo global (e também mínimo local). Assim, aqui temos um ponto crítico onde a função não é derivável e que é um (global) mínimo.
Passo 5
Exemplo 2 (tangente vertical, não extremo):
em
.
Cálculo e explicação:
- Para
,
que é positivo para todo
.
- Ao aproximar
, , logo não existe. - Monotonicidade: como
para , a função é estritamente crescente em todo . Portanto não é extremo (nem máximo nem mínimo), apesar de ser um ponto crítico (derivada inexistente). Esse exemplo mostra que derivada inexistente não implica necessariamente extremo.
Passo 6
Exemplo 3 (cúspide / mínimo):
em
.
Cálculo e explicação:
- Para
,
- As derivadas laterais tornam-se
logo
não existe (cúspide).
- Verificação de extremo:
para todo e , portanto é mínimo global (e local). Assim mais um exemplo de ponto crítico não derivável que é mínimo.
Passo 7
Diferença entre máximo local e máximo (global) — definição, intuição e exemplo.
Definição formal de máximo local:
Um ponto do domínio de
é um máximo local se existe um intervalo aberto
com
tal que, para todo
,
Um ponto
Definição formal de máximo (global):
Um ponto do domínio de
é um máximo global (ou absoluto) se, para todo
no domínio,
Um ponto
Intuição:
- Máximo local: é o maior valor da função numa vizinhança (próxima) de
, pode haver valores maiores em pontos afastados. - Máximo global: é o maior valor da função em todo o domínio.
Exemplo de máximo local que não é global:
Considere .
Considere
-
tem zeros em . - Em
temos e é um máximo local. Mas à medida que , , então não há máximo global; o máximo local em não é global.
Passo 8
Diferença entre mínimo local e mínimo (global) — definição, intuição e exemplo.
Definição formal de mínimo local:
Um ponto do domínio de
é um mínimo local se existe um intervalo aberto
com
tal que, para todo
,
Um ponto
Definição formal de mínimo (global):
Um ponto do domínio de
é um mínimo global se, para todo
no domínio,
Um ponto
Intuição:
- Mínimo local: menor valor numa vizinhança.
- Mínimo global: menor valor em todo o domínio.
Exemplos:
-
tem mínimo global e local em . -
tem mas não é mínimo nem máximo local (ponto de inflexão).
Passo 9
Como proceder na prova — receita prática e didática passo a passo para identificar extremos e pontos críticos:
- Encontre o domínio de
. Só pontos do domínio podem ser extremos. - Calcule
quando possível. Resolva para obter candidatos (pontos estacionários). - Verifique onde
não existe, mas o ponto pertence ao domínio — esses também são candidatos (pontos críticos notáveis: cantos, cúspides, tangentes verticais). - Para cada candidato
: - Se
existe em uma vizinhança de exceto possivelmente em , use o teste da primeira derivada (veja sinal de à esquerda e à direita) para concluir se é máximo local, mínimo local ou nada. - Se
e existe, use o teste da segunda derivada: mínimo local; máximo local; inconclusivo (use primeiro teste ou análise de termos superiores). - Se
não existe em , compare valores de perto de (ou analise sinais de à esquerda/direita) para decidir se há extremo.
- Se
- Para extremos globais em domínios fechados, compare os valores de
em todos os pontos críticos e também nas fronteiras do domínio.
Passo 10
Resumo final e lembretes amistosos:
- Ponto crítico = onde
ou não existe (e está no domínio). - Nem todo ponto crítico é extremo; testar vizinhança é obrigatório.
- Exemplos úteis para memorizar:
(canto, mínimo), (tangente vertical, sem extremo), (cúspide, mínimo). - Na prova: ache candidatos, teste com sinais ou segunda derivada, e não esqueça as bordas do domínio para máximos/mínimos globais. Você consegue — respira e vai passo a passo!
Resposta
Um ponto crítico é um ponto
do domínio de
tal que
ou
não existe.
Exemplos de pontos críticos não deriváveis: para em
(canto, mínimo global); para
em
(derivada não existe, mas não é extremo); para
em
(cúspide, mínimo).
Máximo local: é máximo local se existe vizinhança onde
. Máximo (global):
é máximo global se
para todo
do domínio.
Mínimo local: é mínimo local se existe vizinhança onde
. Mínimo (global):
é mínimo global se
para todo
do domínio.
Exemplos de pontos críticos não deriváveis: para
Máximo local:
Mínimo local: