Explique o que é um ponto crítico. Dê exemplos de pontos críticos em que a função não é derivável. Explique a diferença entre máximo local e máximo (global). Explique também a diferença entre mínimo local e mínimo (global).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar o que é um ponto crítico.
  • Dar exemplos de pontos críticos em que a função não é derivável.
  • Explicar a diferença entre máximo local e máximo (global).
  • Explicar a diferença entre mínimo local e mínimo (global).
Informações relevantes dadas (o que preciso responder):
  • Definição formal e intuição do que é ponto crítico.
  • Exemplos concretos de funções com pontos onde a derivada não existe.
  • Definições formais e exemplos contrastando local vs global para máximos e mínimos.

Passo 2

Definição formal e comentário intuitivo sobre ponto crítico.
Definição (formal):
Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico se pelo menos uma das seguintes condições ocorre:
f'\text{(c)}=0\quad\text{ou}\quad f'\text{(c)}\\ \text{não existe (mas \(c\) pertence ao domínio de \(f\)).}ãí
Observação importante: se f tem um extremo local (máximo ou mínimo) em c e f é diferenciável em c, então necessariamente f'\text{(c)}=0. Esta afirmação é o Teorema de Fermat. Por isso, para encontrar candidatos a extremos verificamos onde f'(x)=0 e também onde f' não existe (desde que o ponto esteja no domínio).
Intuição:
  • “Ponto crítico” é qualquer ponto onde a regra usual (derivada diferente de zero) falha para dizer que a função está subindo/descendo de forma regular. Ou seja, é onde a derivada é zero (reta tangente horizontal) ou onde a derivada não existe (canto, cúspide, ou tangente vertical).

Passo 3

Tipos de pontos onde a derivada não existe — explicando com nomes e o que acontece com a função:
  1. Canto (corner): a curva tem duas retas com inclinações distintas que se juntam num ponto. Exemplo típico: valor absoluto.
  2. Cúspide (cusp): a inclinação vai para -\infty de um lado e +\infty do outro.
  3. Tangente vertical: a inclinação tende a \pm\infty mas a curva é suave (por exemplo, x^{1/3} tem tangente vertical em zero).
Em todos esses casos a derivada em c não existe, mas c pode ou não ser extremo — é preciso analisar.

Passo 4

Exemplo 1 (canto): \,f(x)=|x|\, em x=0.
Cálculo e explicação passo a passo:
  • Para x>0, |x|=x então f'(x)=1.
  • Para x<0, |x|=-x então f'(x)=-1.
  • As derivadas laterais em 0 são
f'_-(0) = -1,\qquad f'_+(0)=1,
portanto f'(0) não existe (pois as derivadas laterais não coincidem).
  • Verificação de extremo: |x|\ge 0 para todo x e |0|=0, então x=0 é um mínimo global (e também mínimo local). Assim, aqui temos um ponto crítico onde a função não é derivável e que é um (global) mínimo.

Passo 5

Exemplo 2 (tangente vertical, não extremo): \,f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\, em x=0.
Cálculo e explicação:
  • Para x\neq0,
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3}\frac{1}{(x^{2/3})},
que é positivo para todo x\neq0.
  • Ao aproximar x\to0, f'(x)\to +\infty, logo f'(0) não existe.
  • Monotonicidade: como f'(x)>0 para x\neq0, a função é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Portanto x=0 não é extremo (nem máximo nem mínimo), apesar de ser um ponto crítico (derivada inexistente). Esse exemplo mostra que derivada inexistente não implica necessariamente extremo.

Passo 6

Exemplo 3 (cúspide / mínimo): \,f(x)=x^{2/3}\, em x=0.
Cálculo e explicação:
  • Para x\neq 0,
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
  • As derivadas laterais tornam-se
\lim_{x\to0^-}f'(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}f'(x)=+\infty,
logo f'(0) não existe (cúspide).
  • Verificação de extremo: x^{2/3}\ge 0 para todo x e f(0)=0, portanto x=0 é mínimo global (e local). Assim mais um exemplo de ponto crítico não derivável que é mínimo.

Passo 7

Diferença entre máximo local e máximo (global) — definição, intuição e exemplo.
Definição formal de máximo local:
Um ponto c do domínio de f é um máximo local se existe um intervalo aberto I com c\in I tal que, para todo x\in I,
f(x)\le f\text{(c)}.
Definição formal de máximo (global):
Um ponto c do domínio de f é um máximo global (ou absoluto) se, para todo x no domínio,
f(x)\le f\text{(c)}.
Intuição:
  • Máximo local: é o maior valor da função numa vizinhança (próxima) de c, pode haver valores maiores em pontos afastados.
  • Máximo global: é o maior valor da função em todo o domínio.
Exemplo de máximo local que não é global:
Considere f(x)=x^3-3x.
  • f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) tem zeros em x=\pm1.
  • Em x=-1 temos f(-1)=2 e é um máximo local. Mas à medida que x\to\infty, f(x)\to\infty, então não há máximo global; o máximo local em -1 não é global.

Passo 8

Diferença entre mínimo local e mínimo (global) — definição, intuição e exemplo.
Definição formal de mínimo local:
Um ponto c do domínio de f é um mínimo local se existe um intervalo aberto I com c\in I tal que, para todo x\in I,
f(x)\ge f\text{(c)}.
Definição formal de mínimo (global):
Um ponto c do domínio de f é um mínimo global se, para todo x no domínio,
f(x)\ge f\text{(c)}.
Intuição:
  • Mínimo local: menor valor numa vizinhança.
  • Mínimo global: menor valor em todo o domínio.
Exemplos:
  • f(x)=|x| tem mínimo global e local em x=0.
  • f(x)=x^3 tem f'(0)=0 mas 0 não é mínimo nem máximo local (ponto de inflexão).

Passo 9

Como proceder na prova — receita prática e didática passo a passo para identificar extremos e pontos críticos:
  1. Encontre o domínio de f. Só pontos do domínio podem ser extremos.
  2. Calcule f'(x) quando possível. Resolva f'(x)=0 para obter candidatos (pontos estacionários).
  3. Verifique onde f' não existe, mas o ponto pertence ao domínio — esses também são candidatos (pontos críticos notáveis: cantos, cúspides, tangentes verticais).
  4. Para cada candidato c:
    • Se f' existe em uma vizinhança de c exceto possivelmente em c, use o teste da primeira derivada (veja sinal de f' à esquerda e à direita) para concluir se é máximo local, mínimo local ou nada.
    • Se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)} existe, use o teste da segunda derivada: f''\text{(c)}>0\Rightarrow mínimo local; f''\text{(c)}<0\Rightarrow máximo local; f''\text{(c)}=0\Rightarrow inconclusivo (use primeiro teste ou análise de termos superiores).
    • Se f' não existe em c, compare valores de f perto de c (ou analise sinais de f' à esquerda/direita) para decidir se há extremo.
  5. Para extremos globais em domínios fechados, compare os valores de f em todos os pontos críticos e também nas fronteiras do domínio.

Passo 10

Resumo final e lembretes amistosos:
  • Ponto crítico = onde f'\text{(c)}=0 ou f' não existe (e c está no domínio).
  • Nem todo ponto crítico é extremo; testar vizinhança é obrigatório.
  • Exemplos úteis para memorizar: \,|x|\, (canto, mínimo), \,x^{1/3}\, (tangente vertical, sem extremo), \,x^{2/3}\, (cúspide, mínimo).
  • Na prova: ache candidatos, teste com sinais ou segunda derivada, e não esqueça as bordas do domínio para máximos/mínimos globais. Você consegue — respira e vai passo a passo!

Resposta

Um ponto crítico é um ponto c do domínio de f tal que f'\text{(c)}=0 ou f'\text{(c)} não existe.
Exemplos de pontos críticos não deriváveis: para f(x)=|x| em x=0 (canto, mínimo global); para f(x)=x^{1/3} em x=0 (derivada não existe, mas não é extremo); para f(x)=x^{2/3} em x=0 (cúspide, mínimo).
Máximo local: c é máximo local se existe vizinhança onde f(x)\le f\text{(c)}. Máximo (global): c é máximo global se f(x)\le f\text{(c)} para todo x do domínio.
Mínimo local: c é mínimo local se existe vizinhança onde f(x)\ge f\text{(c)}. Mínimo (global): c é mínimo global se f(x)\ge f\text{(c)} para todo x do domínio.

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