Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o nível da água \left(\frac{d h}{d t}\right), em função da profundidade h. Com que velocidade a água sobe no instante em que h=1 ? O que acontece quando h \rightarrow 0 ? (Dica: Há
um exemplo similar na seção 3.9 do livro texto.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados: um tanque em forma de cone invertido com altura \,H\, e raio do topo (quando cheio) \,R\,. O tanque está inicialmente vazio e enche com água a uma vazão volumétrica constante \,k\, litros por minuto.
  • Pedido 1: Expressar a velocidade de subida do nível da água \,\frac{d h}{d t}\, em função da profundidade instantânea \,h\,.
  • Pedido 2: Calcular essa velocidade no instante em que \,h=1\,.
  • Pedido 3: Explicar o que acontece com \,\frac{d h}{d t}\, quando \,h \rightarrow 0\,.
Informações relevantes extraídas do enunciado: vazão volumétrica constante \,k (unidade dada em litros/minuto), geometria do cone definida por \,H e \,R.

Passo 2

Escolhemos variáveis e escrevemos a fórmula do volume do “cone de água”:
  • Seja \,h(t)\, a altura da coluna de água no instante t e \,r(t)\, o raio da superfície livre da água nesse instante. O volume da água (uma região cônica) é
V=\frac{1}{3}\pi r^2 h.
Explicação didática: essa é a fórmula do volume de um cone reto. O fator \frac{1}{3} surge porque, comparado a um cilindro de mesma base e mesma altura, o cone ocupa um terço do volume. Aqui \,r\, é o raio da base do cone de água e \,h\, é a altura desse cone.

Passo 3

Relacionamos \,r\, e \,h\, usando semelhança de triângulos:
  • Ao encher o cone, a forma da superfície é um cone semelhante ao cone total. Pelas semelhanças, as razões dos comprimentos correspondentes são iguais, portanto
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}.
  • Daí obtemos
r=\frac{R}{H}\,h.
Explicação didática: à medida que a água sobe, o raio da seção é proporcional à altura porque os dois cones (o pequeno de água e o grande do tanque) têm a mesma forma geométrica — é uma proporcionalidade linear.

Passo 4

Substituímos r em V para obter V em função apenas de h:
  • Substituindo r=\dfrac{R}{H}h em \,V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\, obtemos
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{R}{H}h\right)^2 h =\frac{1}{3}\pi\frac{R^2}{H^2}h^3.
Passo a passo algébrico: elevamos ao quadrado \left(\frac{R}{H}h\right)^2=\frac{R^2}{H^2}h^2 e multiplicamos por h para ficar h^3.

Passo 5

Relacionamos as taxas temporais usando a regra da cadeia:
  • A vazão volumétrica dada é \,\frac{dV}{dt}=k\, (atenção às unidades: se \,k está em litros/min, e H,R,h estão em metros, deve converter litros para metros cúbicos; 1 litro =0{,}001 m ^3). Aqui seguimos simbolicamente com k como taxa volumétrica apropriada.
  • Diferenciando V(h) em relação ao tempo t pela regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}.
  • Calculamos \dfrac{dV}{dh}. A partir de \,V=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{R^2}{H^2}h^3\,,
\frac{dV}{dh}=\frac{1}{3}\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot 3h^2 =\pi\frac{R^2}{H^2}h^2.
Explicação da regra da cadeia: V depende de h e h depende de t; para achar a taxa de variação de V no tempo, multiplicamos a derivada de V em relação a h pela derivada de h em relação ao tempo.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dh}{dt} e escrevemos a resposta:
  • Substituindo em \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\dfrac{dh}{dt} com \dfrac{dV}{dt}=k e \dfrac{dV}{dh}=\pi\dfrac{R^2}{H^2}h^2, obtemos
k=\pi\frac{R^2}{H^2}h^2\cdot\frac{dh}{dt}.
  • Portanto
\frac{dh}{dt}=\frac{k}{\pi\frac{R^2}{H^2}h^2} =\frac{kH^2}{\pi R^2 h^2}.
Interpretação física: \frac{dh}{dt} depende inversamente de h^2; para a mesma vazão k, quando a coluna é pequena ( h pequeno) a altura aumenta mais rápido, porque a seção transversal (área) perto do vértice é muito pequena.

Passo 7

Avaliação em h=1 e comportamento quando h\rightarrow 0:
  • Substituindo h=1 na expressão encontrada:
\left.\frac{dh}{dt}\right|_{h=1}=\frac{kH^2}{\pi R^2}.
  • Analisando o limite quando h\rightarrow 0:
\lim_{h\to 0}\frac{dh}{dt}=\lim_{h\to 0}\frac{kH^2}{\pi R^2 h^2}=+\infty.
Explicação física: matematicamente a velocidade tende ao infinito porque a área da seção transversal \pi r^2 tende a zero como h^2, então uma pequena quantidade de volume provoca um grande aumento de altura. Na prática, esse comportamento sinaliza que o modelo idealizado falha muito próximo do vértice (imperfeições do fundo, tensão superficial, efeito do bocal, etc.), mas o resultado matemático é que \frac{dh}{dt} diverge quando h\to 0.

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{kH^2}{\pi R^2 h^2}
\displaystyle \left.\frac{dh}{dt}\right|_{h=1}=\frac{kH^2}{\pi R^2}
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{dh}{dt}=+\infty

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