Explique porque o elemento de volume em coordenadas esféricas é
[
d V=r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d \varphi d r^{\prime}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
dV = r^prime 2 sin theta , dtheta , dvarphi , dr^prime
Estamos trabalhando com coordenadas esféricas, que são usadas para descrever pontos no espaço usando três parâmetros: a distância do ponto à origem $ r’ $, o ângulo polar $ \theta $ (medido a partir do eixo $ z $), e o ângulo azimutal $ \varphi $ (medido no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $). Para resolver isso, vamos precisar entender como convertemos pequenos incrementos nessas coordenadas para um volume infinitesimal.

Passo 2

Primeiro, imagine que você está construindo uma pequena caixinha no espaço usando coordenadas esféricas. Essa caixinha tem dimensões pequenas em $ r’ $, $ \theta $ e $ \varphi $. Para achar o volume dessa caixinha, precisamos multiplicar as três dimensões.

Passo 3

Vamos analisar cada dimensão:
  1. Direção radial ($ r’ $): Um pequeno incremento em $ r’ $ é simplesmente $ dr’ $.
  2. Direção polar ($ \theta $): Quando você muda $ \theta $ um pouquinho, a distância percorrida no espaço não é apenas $ d\theta $, porque em coordenadas esféricas, isso depende de $ r’ $. Especificamente, o arco gerado é $ r’ d\theta $.
  3. Direção azimutal ($ \varphi $): Similar ao $ \theta $, a mudança em $ \varphi $ gera um arco de comprimento $ r’ \sin\theta , d\varphi $. O $ \sin\theta $ aparece porque estamos projetando no plano $ xy $.

Passo 4

Agora, para achar o volume infinitesimal $ dV $, multiplicamos esses três incrementos:
dV
Multiplicando tudo, temos:
dV = (dr') times (r' dtheta) times (r' sintheta , dvarphi)

Resposta

Portanto, o elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^prime 2 sin theta , dtheta , dvarphi , dr'

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