Explique porque
[
\vec{r}{\prime}=r{\prime}(\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \cos \varphi \vec{j}+\sin \theta \sin \varphi \vec{k}) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é entender por que a derivada do vetor posição r^prime tem essa forma específica:
r^prime=r^prime(cos theta i+sin theta cos varphi j+sin theta sin varphi k)
Esse problema está ligado ao estudo de coordendas esféricas e vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor em coordenadas esféricas e como calcular sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como representamos um vetor r usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: a distância do ponto à origem r, o ângulo polar theta (medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal varphi (medido no plano xy).
A expressão do vetor posição r em coordenadas cartesianas é:
r = r sin theta cos varphi , i + r sin theta sin varphi , j + r cos theta , k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos pensar na derivada desse vetor em relação a algum parâmetro, que vamos chamar de tempo t. Então, a derivada de r em relação ao tempo é:
r^prime = drdt
Isso significa que vamos derivar cada componente de r em relação a t.

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente. Começando com a componente em i:
ddt ( r sin theta cos varphi ) = r^prime sin theta cos varphi + r (cos theta theta^prime cos varphi - sin theta sin varphi varphi^prime)
Similarmente, derivamos as componentes em j e k. No entanto, se assumirmos que os ângulos theta e varphi são constantes, as derivadas simplificam.

Passo 5

Se theta e varphi são constantes (ou seja, theta^prime = 0 e varphi^prime = 0), as derivadas simplificam bastante:
r^prime = r^prime sin theta cos varphi , i + r^prime sin theta sin varphi , j + r^prime cos theta , k
Agora, podemos fatorar r^prime de toda a expressão.

Passo 6

Fatorando r^prime, temos:
r^prime = r^prime ( sin theta cos varphi , i + sin theta sin varphi , j + cos theta , k )
Rearranjando os termos para combinar as partes de i, j e k, obtemos:
r^prime = r^prime ( cos theta , i + sin theta cos varphi , j + sin theta sin varphi , k )

Resposta

Portanto, mostramos por etapas que:
r^prime=r^prime(cos theta i+sin theta cos varphi j+sin theta sin varphi k)

Exercícios relacionados