Explique porque
[
\vec{r}{\prime}=r{\prime}(\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \cos \varphi \vec{j}+\sin \theta \sin \varphi \vec{k}) .
\vec{r}{\prime}=r{\prime}(\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \cos \varphi \vec{j}+\sin \theta \sin \varphi \vec{k}) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é entender por que a derivada do vetor posição
tem essa forma específica:
Esse problema está ligado ao estudo de coordendas esféricas e vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor em coordenadas esféricas e como calcular sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como representamos um vetor
usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: a distância do ponto à origem
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo
) e o ângulo azimutal
(medido no plano
).
A expressão do vetor posição
em coordenadas cartesianas é:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos pensar na derivada desse vetor em relação a algum parâmetro, que vamos chamar de tempo
. Então, a derivada de
em relação ao tempo é:
Isso significa que vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar cada parte separadamente. Começando com a componente em
:
Similarmente, derivamos as componentes em
e
. No entanto, se assumirmos que os ângulos
e
são constantes, as derivadas simplificam.
Passo 5
Se
e
são constantes (ou seja,
e
), as derivadas simplificam bastante:
Agora, podemos fatorar
de toda a expressão.
Passo 6
Fatorando
, temos:
Rearranjando os termos para combinar as partes de
,
e
, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos por etapas que: