Explique porque, integrando na coordenada phi obtemos,
[
\vec{g}{s}(\vec{r})=-\vec{i} 2 \pi G \int{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r^{\prime} \frac{r-r^{\prime} \cos \theta}{\left(r{2}+r{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{3 / 2}}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que explicar por que, ao integrar na coordenada phi, obtemos a expressão dada para o vetor gravitacional gs(r). O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de campos gravitacionais usando coordenadas esféricas e integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas esféricas, a simetria do problema e como a integração sobre um ângulo simplifica a expressão.

Passo 2

Vamos começar lembrando que, para calcular o campo gravitacional em uma posição r devido a uma distribuição de massa rho(r'), usamos a lei da gravitação de Newton. Em coordenadas esféricas, a posição de um elemento de massa é descrita por (r', theta, phi). O vetor gravitacional devido a esse elemento é proporcional a r - r'|r - r'|^3.

Passo 3

A expressão geral para o campo gravitacional é dada por:
g(r) = -G integral rho(r') (r - r')|r - r'|^3 dV'
Aqui, dV' é o elemento de volume na coordenada esférica, que é r'^2 sintheta dr' dtheta dphi.

Passo 4

Observamos que devido à simetria do problema, a integral em phi pode ser resolvida separadamente. Como a densidade rho depende apenas de r', a integral em phi simplifica a expressão vetorial. Isso acontece porque, ao integrar sobre phi, as componentes que dependem de cosphi e sinphi se cancelam devido à simetria circular, deixando apenas a componente na direção i (x).

Passo 5

Após integrar sobre phi, a expressão do campo gravitacional se reduz a:
gs(r) = -i 2 pi G integral0^R integral0^pi rho(r') r'^2 sintheta dtheta dr' r - r' costheta(r^2 + r'^2 - 2 r r' costheta)^3/2
Isso ocorre porque a integração em phi elimina as componentes verticais, restando apenas a componente horizontal na direção de i.

Resposta

Ao integrar sobre a coordenada phi, utilizamos a simetria do problema que cancela as componentes em phi, resultando na expressão do campo gravitacional na direção i:
gs(r) = -i 2 pi G integral0^R integral0^pi rho(r') r'^2 sintheta dtheta dr' r - r' costheta(r^2 + r'^2 - 2 r r' costheta)^3/2

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