Explique porque, integrando na coordenada
obtemos,
[
\vec{g}{s}(\vec{r})=-\vec{i} 2 \pi G \int{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r^{\prime} \frac{r-r^{\prime} \cos \theta}{\left(r{2}+r{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{3 / 2}}
\vec{g}{s}(\vec{r})=-\vec{i} 2 \pi G \int{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r^{\prime} \frac{r-r^{\prime} \cos \theta}{\left(r{2}+r{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{3 / 2}}
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que explicar por que, ao integrar na coordenada
, obtemos a expressão dada para o vetor gravitacional
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de campos gravitacionais usando coordenadas esféricas e integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas esféricas, a simetria do problema e como a integração sobre um ângulo simplifica a expressão.
Passo 2
Vamos começar lembrando que, para calcular o campo gravitacional em uma posição
devido a uma distribuição de massa
, usamos a lei da gravitação de Newton. Em coordenadas esféricas, a posição de um elemento de massa é descrita por
. O vetor gravitacional devido a esse elemento é proporcional a
.
Passo 3
A expressão geral para o campo gravitacional é dada por:
Aqui,
é o elemento de volume na coordenada esférica, que é
.
Passo 4
Observamos que devido à simetria do problema, a integral em
pode ser resolvida separadamente. Como a densidade
depende apenas de
, a integral em
simplifica a expressão vetorial. Isso acontece porque, ao integrar sobre
, as componentes que dependem de
e
se cancelam devido à simetria circular, deixando apenas a componente na direção
(x).
Passo 5
Após integrar sobre
, a expressão do campo gravitacional se reduz a:
Isso ocorre porque a integração em
elimina as componentes verticais, restando apenas a componente horizontal na direção de
.
Resposta
Ao integrar sobre a coordenada
, utilizamos a simetria do problema que cancela as componentes em
, resultando na expressão do campo gravitacional na direção
: