Mostre que
e que devido a isso,
[
\overrightarrow{g_{s}}(\vec{r})=\vec{i} 2 \pi G \frac{d}{d r} \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \frac{\rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r{\prime}}{\left(r{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{1 / 2}}
\overrightarrow{g_{s}}(\vec{r})=\vec{i} 2 \pi G \frac{d}{d r} \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \frac{\rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r{\prime}}{\left(r{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{1 / 2}}
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma identidade envolvendo derivadas e, em seguida, usar isso para encontrar uma expressão para o campo gravitacional
. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, e de física, mais especificamente sobre campos gravitacionais. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que precisamos derivar:
Aqui, temos uma função da forma
e queremos encontrar sua derivada em relação a
.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar composições de funções. Se
, então
.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Note que o 2 no numerador e o 1/2 fora se cancelam:
Prontinho! Mostramos a primeira parte do exercício.
Passo 7
Agora, precisamos usar essa derivada para encontrar a expressão do campo gravitacional
:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a densidade, e estamos integrando sobre
e
.
Passo 8
Substituindo a derivada que encontramos na primeira parte:
Portanto, a expressão para
fica:
Resposta
Assim, mostramos que:
E, consequentemente, o campo gravitacional é dado por: