Mostre que
dd r(r^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta)^-1 / 2=-r-r^prime cos theta(r^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta)^3 / 2
e que devido a isso,
[
\overrightarrow{g_{s}}(\vec{r})=\vec{i} 2 \pi G \frac{d}{d r} \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \frac{\rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} \sin \theta d \theta d r{\prime}}{\left(r{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta\right)^{1 / 2}}

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma identidade envolvendo derivadas e, em seguida, usar isso para encontrar uma expressão para o campo gravitacional gs(r). Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, e de física, mais especificamente sobre campos gravitacionais. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que precisamos derivar:
dd r(r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^-1 / 2
Aqui, temos uma função da forma f(r) = (r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^-1 / 2 e queremos encontrar sua derivada em relação a r.

Passo 3

Para derivar f(r), vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar composições de funções. Se f(r) = [g(r)]^n, então f'(r) = n [g(r)]^n-1 cdot g'(r).
No nosso caso, g(r) = r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta e n = -1/2.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada de g(r) em relação a r:
g(r) = r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta
Derivando termo a termo:
g'(r) = 2r - 2 r^prime cos theta

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar f(r):
f'(r) = dd r (g(r))^-1/2 = -12 (g(r))^-3/2 cdot g'(r)
Substituindo g(r) e g'(r):
f'(r) = -12 (r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^-3/2 cdot (2r - 2 r^prime cos theta)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Note que o 2 no numerador e o 1/2 fora se cancelam:
f'(r) = -r - r^prime cos theta(r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^3/2
Prontinho! Mostramos a primeira parte do exercício.

Passo 7

Agora, precisamos usar essa derivada para encontrar a expressão do campo gravitacional gs(r):
gs(r) = i , 2 pi G dd r integral0^R integral0^pi rho(r^prime) r^prime 2 sin theta , d theta , d r^prime(r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^1 / 2
Aqui, G é a constante gravitacional, rho(r') é a densidade, e estamos integrando sobre r' e theta.

Passo 8

Substituindo a derivada que encontramos na primeira parte:
Portanto, a expressão para dd r (r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^-1/2 = -r - r^prime cos theta(r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta)^3/2 fica:
gs(r)

Resposta

Assim, mostramos que:
dd r(r^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta)^-1 / 2 = -r - r^prime cos theta(r^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta)^3 / 2
E, consequentemente, o campo gravitacional é dado por:
gs(r) = i , 2 pi G dd r integral0^R integral0^pi rho(r^prime) r^prime 2 sin theta , d theta , d r^prime(r^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta)^1 / 2

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