Supondo que se queira medir a aceleração da gravidade em um ponto r=r i, mostre que
[
\left|\vec{r}-\vec{r}{\prime}\right|=\sqrt{r{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \theta}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer medir a aceleração da gravidade num ponto definido por um vetor r = r i. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente como calcular a distância entre dois vetores. Precisamos mostrar que a distância entre r e r^prime é dada por raizr^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois vetores, r e r^prime, é representada pela magnitude do vetor diferença, ou seja, |r - r^prime|. Para encontrar essa magnitude, vamos calcular o produto interno (ou escalar) desse vetor consigo mesmo.

Passo 3

Vamos expandir o produto interno:
|r - r^prime|^2 = (r - r^prime) cdot (r - r^prime)
Isso nos dá:
|r|^2 + |r^prime|^2 - 2 r cdot r^prime

Passo 4

Sabemos que |r| = r e |r^prime| = r^prime. O produto escalar r cdot r^prime pode ser expresso como r r^prime cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores. Substituindo esses valores na expressão, temos:
|r - r^prime|^2 = r^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta

Passo 5

Para encontrar a magnitude |r - r^prime|, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
|r - r^prime| = raizr^2 + r^prime 2 - 2 r r^prime cos theta

Resposta

A distância entre os pontos é |r-r^prime|=raizr^2+r^prime 2-2 r r^prime cos theta.

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