1. Explique porquê não existe uma orientação privilegiada para o átomo.
  2. Calcule o valor esperado da energia potencial V para o elétron no estado 1 s do átomo de Hidrogênio. Usando este resultado, calcule o valor esperado da energia cinética T .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
5. Explicar por que não existe orientação privilegiada para o átomo (conteúdo: simetria esférica e invariância rotacional do Hamiltoniano).
6. Calcular o valor esperado da energia potencial \langle V\rangle para o elétron no estado 1s do átomo de Hidrogênio e, a partir desse resultado, obter o valor esperado da energia cinética \langle T\rangle. Usaremos a forma analítica da função de onda 1s, integração em coordenadas esféricas e o teorema do virial para átomos de Coulomb.

Passo 2

O potencial elétrico do átomo de Hidrogênio é
V(\mathbf r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r},
que depende apenas da distância r=|\mathbf r| ao núcleo. Assim, o Hamiltoniano
H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r)
é invariante sob rotações (ele comuta com os operadores de momento angular). Como consequência, não há nenhuma direção no espaço privilegiada: girar todo o sistema não altera o espectro nem as funções de onda. É por isso que o átomo não tem orientação preferencial.

Passo 3

A função de onda normalizada do estado 1s é
\psi_{1s}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,a_0^3}}\,e^{-r/a_0},
onde a_0 é o raio de Bohr. O valor esperado de V é
\langle V\rangle =\int\psi_{1s}^*(\mathbf r)\,V(\mathbf r)\,\psi_{1s}(\mathbf r)\,d^3r =-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\Bigl\langle\frac{1}{r}\Bigr\rangle_{1s}.

Passo 4

Em coordenadas esféricas temos
\Bigl\langle\frac{1}{r}\Bigr\rangle_{1s} =\int_0^\infty\frac{1}{r}\,\Bigl|\psi_{1s}(r)\Bigr|^2\,4\pi r^2\,dr =4\pi\frac{1}{\pi a_0^3}\int_0^\infty r\,e^{-2r/a_0}\,dr.
Fazendo u=2r/a_0, fica
\int_0^\infty r\,e^{-2r/a_0}\,dr =\frac{a_0^2}{4}\int_0^\infty u\,e^{-u}\,du =\frac{a_0^2}{4}\cdot 1! =\frac{a_0^2}{4}.
Logo
\Bigl\langle\frac{1}{r}\Bigr\rangle_{1s} =\frac{4\pi}{\pi a_0^3}\,\frac{a_0^2}{4} =\frac{1}{a_0}.

Passo 5

Substituindo em \langle V\rangle, obtemos
\langle V\rangle =-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{a_0} =-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,a_0}.
Em números, usando E_1=-13{,}6\:\mathrm{eV} e sabendo que para Coulomb vale \langle V\rangle=2E_1, resulta
\langle V\rangle =2(-13{,}6\:\mathrm{eV}) =-27{,}2\:\mathrm{eV}.

Passo 6

Pelo teorema do virial para potenciais 1/r, temos
\langle T\rangle=-E_1=+13{,}6\:\mathrm{eV},
ou, usando E_1=\langle T\rangle+\langle V\rangle, isola-se
\langle T\rangle=-\,E_1.

Resposta

  1. Não há orientação privilegiada porque o Hamiltoniano depende apenas de r e é invariante sob rotações, garantindo isotropia.
\displaystyle \langle V\rangle=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,a_0}=-27{,}2\:\mathrm{eV},
\displaystyle \langle T\rangle=+13{,}6\:\mathrm{eV}.

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