1. Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 \leq x<a. Para t=0 a função de onda do sistema é: \psi(x, 0)=C_{1} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right),onde C_{1} e C_{2} são constates de normalização.
    (a) Explique que significa essa função de onda.
    (b) Encontre a função de onda para o tempo t.
    (c) Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo t.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula confinada num poço de potencial infinito unidimensional em 0 \le x < a. Em t=0 a função de onda é dada como combinação linear de dois autovetores do Hamiltoniano,
\psi(x,0)=C_{1}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr),
onde C_{1} e C_{2} normalizam a função de onda completa.
Conteúdo necessário:
  1. Reconhecer que \sin(n\pi x/a) são estados estacionários com energias \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}.
  2. Usar a evolução temporal de cada autestado, que acumula fator \exp(-iE_{n}t/\hbar).
  3. Calcular o valor médio de energia em superposição de estados ortonormais.

Passo 2

A parte (a) pede a interpretação de \psi(x,0). Cada termo
\sin(n\pi x/a)
é um estado próprio do Hamiltoniano (autofunção de energia) com n=1 ou 2. Os coeficientes C_{1} e C_{2} são amplitudes de probabilidade para encontrar a partícula nos níveis n=1 ou n=2. Assim, \psi(x,0) é uma superposição de dois estados estacionários; não é um estado de energia bem definido, mas sim um estado cuja probabilidade de medir E_{1} é |C_{1}|^{2} e de medir E_{2} é |C_{2}|^{2}.

Passo 3

Para a parte (b), aplicamos a evolução temporal a cada autestado. Como cada estado \sin(n\pi x/a) evolui com fase \exp(-iE_{n}t/\hbar), obtemos
\psi(x,t) = C_{1}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)\,e^{-\,iE_{1}t/\hbar} + C_{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,e^{-\,iE_{2}t/\hbar},
onde
E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}, \quad E_{2}=\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{m\,a^{2}}.

Passo 4

Na parte (c), o valor médio de energia é
\langle E\rangle =\langle \psi(t)\lvert H\rvert \psi(t)\rangle =|C_{1}|^{2}E_{1}+|C_{2}|^{2}E_{2},
pois os autestados são ortonormais e não há termos cruzados. Note que esse valor é independente do tempo.

Resposta

(a) \psi(x,0) é uma superposição linear de dois estados próprios do Hamiltoniano (níveis n=1 e n=2), com probabilidades |C_{1}|^{2} e |C_{2}|^{2} de medir as energias correspondentes.
(b) \displaystyle \psi(x,t) = C_{1}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)e^{-\,iE_{1}t/\hbar} + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)e^{-\,iE_{2}t/\hbar}.
(c) \displaystyle \langle E\rangle =|C_{1}|^{2}E_{1}+|C_{2}|^{2}E_{2}, \quad E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}.

Exercícios relacionados