1. Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 \leq x<a. Para t=0 a função de onda do sistema é: \psi(x, 0)=C_{1} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right),onde C_{1} e C_{2} são constates de normalização.
    (a) Explique que significa essa função de onda.
    (b) Encontre a função de onda para o tempo t.
    (c) Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo t.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula quântica confinada num poço de potencial infinito unidimensional em 0 \le x \le a. No instante t=0, a função de onda é dada por
\psi(x,0)=C_{1}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)+C_{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes ajustadas para normalizar \psi. Precisamos:
(a) explicar o significado físico dessa combinação;
(b) obter \psi(x,t);
(c) calcular o valor médio da energia \langle E\rangle em função do tempo.

Passo 2

As funções
\phi_{n}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{a}}\;\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),\quad n=1,2,\dots
são autofunções estacionárias do Hamiltoniano do poço, com energias
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}\,.
A forma
\psi(x,0)=C_{1}\,\sin(\pi x/a)+C_{2}\,\sin(2\pi x/a)
é, portanto, uma superposição dos dois primeiros estados estacionários. Fisicamente isso significa que, ao medir a energia no instante t=0, obtemos E_{1} com probabilidade \lvert C_{1}\rvert^{2} e E_{2} com probabilidade \lvert C_{2}\rvert^{2}, onde a normalização exige
\lvert C_{1}\rvert^{2}+\lvert C_{2}\rvert^{2}=1\,.

Passo 3

Cada autofunção estacionária evolui no tempo com fase
\exp(-\,iE_{n}t/\hbar). Logo, a solução geral é
\psi(x,t) =C_{1}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{iE_{1}t}{\hbar}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr) +C_{2}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{iE_{2}t}{\hbar}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr).
Substituindo E_{n}=\tfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}} temos explicitamente cada fase.

Passo 4

O valor médio da energia é
\langle E\rangle =\int_{0}^{a}\psi^{*}(x,t)\,H\,\psi(x,t)\,dx.
Como as autofunções são ortogonais, os termos cruzados somam zero, restando
\langle E\rangle =\lvert C_{1}\rvert^{2}E_{1}+\lvert C_{2}\rvert^{2}E_{2},
que é constante no tempo, pois \lvert e^{-iE_{n}t/\hbar}\rvert=1.

Resposta

(a) A função de onda inicial é uma superposição dos dois primeiros estados estacionários do poço, com probabilidades \lvert C_{1}\rvert^{2} e \lvert C_{2}\rvert^{2} de medir as energias E_{1} e E_{2}.
(b)
\psi(x,t) =C_{1}\,e^{-\,\tfrac{iE_{1}t}{\hbar}}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr) +C_{2}\,e^{-\,\tfrac{iE_{2}t}{\hbar}}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr).
(c)
\langle E\rangle =\lvert C_{1}\rvert^{2}E_{1}+\lvert C_{2}\rvert^{2}E_{2}, \quad E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\,a^{2}}.

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