Sejam os vetores vec{u}=(3,-2,-6), vec{v}=(2,-1,0) e vec{w}=(1,3,4), determine:
(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto vetorial duplo. Dados:
\vec{u} = (3,-2,-6), \vec{v} = (2,-1,0) e \vec{w} = (1,3,4).
A pergunta é: calcular (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}.

Passo 2

Vou usar uma identidade que facilita muito esse tipo de cálculo. A identidade (produto vetorial triplo) é:
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).
Aqui \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são vetores quaisquer; o ponto \cdot é o produto escalar (dot product) e a multiplicação de um vetor por um número é a multiplicação escalar componente a componente. Vou aplicar essa identidade com \vec{a}=\vec{u}, \vec{b}=\vec{v}, \vec{c}=\vec{w}. Assim:
(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{u}\,(\vec{v}\cdot\vec{w}).
Antes de usar, explico rapidamente os conceitos usados:
  • Produto escalar \vec{x}\cdot\vec{y}: multiplica-se as componentes correspondentes e soma-se. Se \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3), então \vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Multiplicação escalar k\vec{x}: multiplica-se cada componente de \vec{x} pelo número k.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{w}. Usando \vec{u}=(3,-2,-6) e \vec{w}=(1,3,4):
\vec{u}\cdot\vec{w}=3\cdot 1+(-2)\cdot 3+(-6)\cdot 4.
Faço as multiplicações:
3\cdot 1 = 3,\quad (-2)\cdot 3 = -6,\quad (-6)\cdot 4 = -24.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{w}=3-6-24=-27.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{w}. Usando \vec{v}=(2,-1,0) e \vec{w}=(1,3,4):
\vec{v}\cdot\vec{w}=2\cdot 1+(-1)\cdot 3+0\cdot 4.
Faço as multiplicações:
2\cdot 1 = 2,\quad (-1)\cdot 3 = -3,\quad 0\cdot 4 = 0.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{w}=2-3+0=-1.

Passo 5

Agora aplico a identidade:
(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{u}\,(\vec{v}\cdot\vec{w})
Substituindo os escalares encontrados:
(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{v}\,(-27)-\vec{u}\,(-1).
Isto é:
(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=-27\vec{v}+1\vec{u}.

Passo 6

Faço as multiplicações escalares componente a componente. Primeiro -27\vec{v} com \vec{v}=(2,-1,0):
-27\vec{v} = -27(2,-1,0)=(-54,27,0).
Depois 1\vec{u}=\vec{u}=(3,-2,-6).
Agora somo os vetores:
-27\vec{v}+\vec{u}=(-54,27,0)+(3,-2,-6).
Somando componente a componente:
(-54+3,\;27+(-2),\;0+(-6)) = (-51,25,-6).

Passo 7

Para me certificar, faço uma verificação rápida calculando diretamente \vec{u}\times\vec{v} e depois cruzando com \vec{w}.
Calcular \vec{u}\times\vec{v} (regra do determinante ou fórmula de componentes):
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Com \vec{u}=(3,-2,-6), \vec{v}=(2,-1,0):
\vec{u}\times\vec{v}=((-2)\cdot 0 - (-6)\cdot(-1),\;(-6)\cdot 2 - 3\cdot 0,\;3\cdot(-1)-(-2)\cdot 2).
Calculando:
\vec{u}\times\vec{v}=(-6,\,-12,\,1).
Agora (\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w} com \vec{p}=\vec{u}\times\vec{v}=(-6,-12,1) e \vec{w}=(1,3,4):
\vec{p}\times\vec{w}= (p_2w_3-p_3w_2,\;p_3w_1-p_1w_3,\;p_1w_2-p_2w_1).
Substituindo:
\vec{p}\times\vec{w}=((-12)\cdot 4 - 1\cdot 3,\;1\cdot 1 - (-6)\cdot 4,\;(-6)\cdot 3 - (-12)\cdot 1).
Calculando:
\vec{p}\times\vec{w}=(-48-3,\;1+24,\;-18+12)=(-51,25,-6),
que confere com o resultado obtido pela identidade.

Resposta

(-51,25,-6)

Exercícios relacionados