Sejam os vetores
e
, determine:
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede um produto vetorial duplo. Dados:
,
e
.
A pergunta é: calcular .
A pergunta é: calcular
Passo 2
Vou usar uma identidade que facilita muito esse tipo de cálculo. A identidade (produto vetorial triplo) é:
Aqui
,
,
são vetores quaisquer; o ponto
é o produto escalar (dot product) e a multiplicação de um vetor por um número é a multiplicação escalar componente a componente. Vou aplicar essa identidade com
,
,
. Assim:
Antes de usar, explico rapidamente os conceitos usados:
- Produto escalar
: multiplica-se as componentes correspondentes e soma-se. Se e , então . - Multiplicação escalar
: multiplica-se cada componente de pelo número .
Passo 3
Calcular
. Usando
e
:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 4
Calcular
. Usando
e
:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 5
Agora aplico a identidade:
Substituindo os escalares encontrados:
Isto é:
Passo 6
Faço as multiplicações escalares componente a componente. Primeiro
com
:
Depois
.
Agora somo os vetores:
Agora somo os vetores:
Somando componente a componente:
Passo 7
Para me certificar, faço uma verificação rápida calculando diretamente
e depois cruzando com
.
Calcular
(regra do determinante ou fórmula de componentes):
Com
,
:
Calculando:
Agora
com
e
:
Substituindo:
Calculando:
que confere com o resultado obtido pela identidade.