Explique o postulado de de Broglie.
Passo 1
O que o enunciado pede: “Explique o postulado de de Broglie.” Ou seja, você quer que eu apresente claramente o que o postulado diz, deduza as fórmulas principais, mostre como usar em exercícios (com exemplos numéricos), com explicação didática passo a passo para que você entenda na prova.
Informações fornecidas: nenhuma informação numérica específica no enunciado. Vou então explicar o postulado, mostrar sua dedução e dar exemplos práticos (incluindo como calcular comprimento de onda de uma partícula).
Informações fornecidas: nenhuma informação numérica específica no enunciado. Vou então explicar o postulado, mostrar sua dedução e dar exemplos práticos (incluindo como calcular comprimento de onda de uma partícula).
Passo 2
Preparando o terreno — relações básicas que vamos usar (explicadas como em uma aulinha curta e tranquila).
- A primeira relação que usamos é a relação de Planck para energia de uma onda (ou fóton):
Aqui:
é a energia,
é a constante de Planck (
), e
(lê-se “nu”) é a frequência da onda. A ideia é: energia vem em “pacotes” proporcionais à frequência.
- Para uma onda com comprimento de onda
que se propaga na velocidade (no caso de luz no vácuo), a relação entre frequência e comprimento de onda é:
Explicação: a frequência
é quantas cristas passam por um ponto por segundo; a cada segundo a onda percorre distância
, então o número de comprimentos de onda por segundo é
.
- Para fótons (partículas de luz), a teoria relativística dá a relação simples entre energia e momento (momentum):
onde
é o momento linear e
é a velocidade da luz. Para fótons não existe massa de repouso, e energia e momento são proporcionais.
Passo 3
Derivando a fórmula de comprimento de onda a partir das relações para fótons (passo lógico que de Broglie estendeu para partículas materiais).
- Combine
com :
- Para fótons, também
. Igualando as duas expressões para :
- Cancele
(não é zero), sobra:
- Reorganizando, temos a relação que aparece como a mais conhecida do postulado de de Broglie:
Interpretação didática: para fótons, a relação entre comprimento de onda e momento já vinha naturalmente. De Broglie propôs que essa relação vale também para qualquer partícula (elétron, nêutron, átomo etc.): toda partícula com momento
tem associada uma “onda” com comprimento de onda
dado por
.
Passo 4
Explicando cada símbolo e por que isso é importante — sem pular etapas.
-
é o comprimento de onda associado à partícula: distância entre “cristas” da onda associada. -
é a constante de Planck (fixa e muito pequena). -
é o momento linear da partícula; para uma partícula clássica não relativística, , onde é a massa e a velocidade.
Consequência prática: se a partícula tiver grande momento (muito massa ou muita velocidade),é pequena — onda muito curta; se o momento é pequeno, pode ser comparável a distâncias atômicas e efeitos de difração aparecem.
Passo 5
Ondas associadas — frequência e velocidades (coisas que caem às vezes na prova).
- Frequência associada (generalizando Planck):
onde
é a energia total associada à partícula (no caso não-relativístico, energia cinética
é usada quando apropriado). Aqui explico: Planck dizia
; de Broglie aplicou o conceito a partículas.
- Em termos de quantidades angulares (útil para resolver problemas com funções de onda): definimos
e . As relações ficam elegantemente:
onde
.
- Velocidade de fase da onda:
- Velocidade de grupo (a velocidade com que um pacote de ondas se desloca, e que corresponde à velocidade da partícula):
Exemplos rápidos para fixar:
- Caso não relativístico (energia cinética
):
Interpretação: a velocidade do pacote de ondas (grupo) coincide com a velocidade clássica da partícula; a velocidade de fase pode ser diferente (às vezes maior que a velocidade da luz, mas isso não viola nada porque velocidade de fase não transmite informação).
- Caso relativístico completo (energia total
):
Aqui
é a velocidade da partícula; de novo, a velocidade do pacote é a velocidade física da partícula.
Passo 6
Exemplo prático (passo a passo, calculável sem calculadora avançada) — elétron acelerado por uma diferença de potencial.
Situação: um elétron é acelerado por uma diferença de potencial . A energia cinética adquirida é
, onde
é a carga do elétron (
). Para não-relativístico:
Situação: um elétron é acelerado por uma diferença de potencial
- Momento
vem de , então
- Comprimento de onda de Broglie:
- Substituindo constantes (coeficiente útil para exercícios): calculando o fator
obtemos (mostrando o número para você usar direto em prova):
isto é,
em nanômetros quando
está em volts. Em angstroms (
):
Exemplo numérico: para
:
Explicação passo a passo do cálculo: primeiro achamos
, depois usamos
. O número
vem de inserir
,
e
com unidades SI e converter para nm — é uma constante prática que facilita cálculos na prova.
Passo 7
Confirmações experimentais e significado físico (por que isso importa):
- Experimentos históricos: difração de elétrons por cristais (experimento de Davisson–Germer) mostrou máximos e mínimos como em ondas — confirmação direta de que elétrons exibem comportamento de onda com comprimento de onda dado por
. Também há difração de nêutrons e de átomos. - Consequência teórica: associar ondas a partículas levou à ideia de função de onda e à formulação da mecânica quântica (equação de Schrödinger). Na prática, quando
é da ordem de grandezas atômicas, fenômenos de interferência e difração aparecem e a descrição clássica falha. - Ligação com o princípio da incerteza: ondas têm extensão e não podem ser localizadas com precisão arbitrária sem misturar vários comprimentos de onda (várias componentes de momento). Isso é a origem intuitiva do princípio de incerteza entre posição e momento.
Passo 8
Dicas para usar o postulado na prova (prático, direto e amigo):
- Identifique o momento
da partícula: se for não-relativístico use ; se foi acelerada por potencial, use . - Aplique a fórmula direta:
. - Se precisar de frequência use
. - Lembre-se: velocidade de grupo
velocidade da partícula — isso ajuda a interpretar pacotes de ondas. - Se a questão envolver difração, compare
com espaçamentos característicos (ex.: distâncias interplanares em cristais) para decidir se haverá difração observável.
Resposta
A cada partícula com momento linear
associa-se uma onda com comprimento de onda
e frequência
. A velocidade de grupo dessa onda é
, que coincide com a velocidade da partícula.