Questão 2: Um frasco de vidro tem 95 \% de seu volume preenchido com mercúrio a -35^{\circ} \mathrm{C}. O sistema é então aquecido, dilatando o frasco e o mercúrio no seu interior. A que temperatura o mercúrio irá transbordar do frasco? Dados: Coeficiente de dilatação linear do vidro \alpha_{v}=9,0 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1} e do mercúrio \alpha_{H g}= 1,8 \times 10^{-4} K^{-1}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a que temperatura o mercúrio vai transbordar do frasco quando o sistema (frasco + mercúrio) é aquecido a partir de -35^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
  • O frasco está inicialmente com 95\% do seu volume preenchido por mercúrio. Ou seja, o volume inicial do mercúrio é \;V_{Hg,0}=0{,}95\,V_{f,0}, onde V_{f,0} é o volume inicial do frasco.
  • Temperatura inicial T_0 = -35^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do vidro (frasco): \alpha_{v}=9{,}0\times 10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Coeficiente indicado para o mercúrio: \alpha_{Hg}=1{,}8\times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}.
Observação importante usada daqui em diante (não altera o enunciado): para o frasco de vidro usarei a relação entre coeficiente linear e coeficiente volumétrico; para o mercúrio tratarei \alpha_{Hg} como o coeficiente volumétrico de dilatação do mercúrio (isto é usual para líquidos e o valor dado é compatível com o coeficiente volumétrico do mercúrio).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Dilatação linear: se um corpo tem comprimento inicial L_0 e coeficiente linear \alpha, ao aumentar a temperatura em \Delta T o novo comprimento é
L = L_0(1+\alpha\,\Delta T).
Aqui \alpha tem unidade \mathrm{K}^{-1} e \Delta T pode ser em kelvin ou em graus Celsius (variação é a mesma).
  • Dilatação volumétrica: para um corpo isotrópico (por exemplo um cubo de vidro), o coeficiente volumétrico \beta relaciona o volume final V ao volume inicial V_0 por
V = V_0(1+\beta\,\Delta T).
  • Relação entre coeficiente linear e volumétrico para materiais isotrópicos: aproximadamente \beta \approx 3\alpha. Intuição: um cubo expande em cada uma das três direções, então o aumento relativo do volume é soma dos aumentos nas três direções (para variações pequenas).
  • No nosso problema:
    • Para o frasco (vidro) usaremos \beta_{v}=3\alpha_{v}.
    • Para o mercúrio usaremos diretamente \beta_{Hg}=\alpha_{Hg} (interpretando o dado como coeficiente volumétrico).

Passo 3

Definição das variáveis e equações de equilíbrio (condição de transbordamento):
  • Volume inicial do frasco: V_{f,0}.
  • Volume inicial do mercúrio: V_{Hg,0}=0{,}95\,V_{f,0}.
  • Após aquecimento de \Delta T:
    • Volume do frasco:
    V_f = V_{f,0}\bigl(1+\beta_{v}\,\Delta T\bigr).
    • Volume do mercúrio:
    V_{Hg} = V_{Hg,0}\bigl(1+\beta_{Hg}\,\Delta T\bigr).
  • Condição de transbordamento: o mercúrio atinge o volume do frasco, ou seja
V_{Hg}=V_f.
Substituindo V_{Hg,0}=0{,}95\,V_{f,0} obtemos
0{,}95\,V_{f,0}\bigl(1+\beta_{Hg}\,\Delta T\bigr)=V_{f,0}\bigl(1+\beta_{v}\,\Delta T\bigr).
Cancelamos V_{f,0} (não é zero) e resolvemos para \Delta T.

Passo 4

Resolução algébrica passo a passo:
  • Começando da igualdade:
0{,}95\bigl(1+\beta_{Hg}\,\Delta T\bigr)=1+\beta_{v}\,\Delta T.
  • Expandindo e isolando os termos com \Delta T:
0{,}95 + 0{,}95\,\beta_{Hg}\,\Delta T = 1 + \beta_{v}\,\Delta T
0{,}95\,\beta_{Hg}\,\Delta T - \beta_{v}\,\Delta T = 1 - 0{,}95
\Delta T\bigl(0{,}95\,\beta_{Hg}-\beta_{v}\bigr)=0{,}05.
  • Portanto
\Delta T = \dfrac{0{,}05}{0{,}95\,\beta_{Hg}-\beta_{v}}.
  • Agora os valores numéricos:
    • Para o vidro: \beta_{v}=3\alpha_{v}=3\times 9{,}0\times 10^{-6}=2{,}7\times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}.
    • Para o mercúrio: \beta_{Hg}=1{,}8\times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1} (valor fornecido).
  • Calculando o denominador:
0{,}95\,\beta_{Hg}-\beta_{v}=0{,}95\times 1{,}8\times 10^{-4}-2{,}7\times 10^{-5}
=1{,}71\times 10^{-4}-2{,}7\times 10^{-5}=1{,}44\times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Então
\Delta T=\dfrac{0{,}05}{1{,}44\times 10^{-4}} \approx 3{,}4722\times 10^{2}\,\mathrm{K}\approx 347{,}2\,\mathrm{K}.
(Lembre: uma variação de temperatura de 1\,\mathrm{K} é igual a 1^\circ\mathrm{C} em magnitude, então podemos somar diretamente em graus Celsius.)

Passo 5

Temperatura final e interpretação:
  • Temperatura final em graus Celsius:
T = T_0 + \Delta T = -35^\circ\mathrm{C} + 347{,}2^\circ\mathrm{C} \approx 312{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida: devido ao coeficiente volumétrico do mercúrio ser muito maior que o do vidro, o mercúrio cresce mais que o frasco e precisa de um aumento grande de temperatura para compensar os 5\% de folga inicial. O resultado é uma temperatura bastante alta ( \approx 312^\circ\mathrm{C}), plausível numericamente mesmo que impraticável experimentalmente (ou seja, antes disso outros efeitos podem ocorrer, mas para o modelo de dilatação linear/volumétrica essa é a resposta).

Resposta

T \approx 312{,}2^\circ\mathrm{C}

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