Questão 2: Um frasco de vidro tem
de seu volume preenchido com mercúrio a
. O sistema é então aquecido, dilatando o frasco e o mercúrio no seu interior. A que temperatura o mercúrio irá transbordar do frasco? Dados: Coeficiente de dilatação linear do vidro
e do mercúrio
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a que temperatura o mercúrio vai transbordar do frasco quando o sistema (frasco + mercúrio) é aquecido a partir de
.
Dados fornecidos:
- O frasco está inicialmente com
do seu volume preenchido por mercúrio. Ou seja, o volume inicial do mercúrio é , onde é o volume inicial do frasco. - Temperatura inicial
. - Coeficiente de dilatação linear do vidro (frasco):
. - Coeficiente indicado para o mercúrio:
.
Observação importante usada daqui em diante (não altera o enunciado): para o frasco de vidro usarei a relação entre coeficiente linear e coeficiente volumétrico; para o mercúrio tratarei
como o coeficiente volumétrico de dilatação do mercúrio (isto é usual para líquidos e o valor dado é compatível com o coeficiente volumétrico do mercúrio).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Dilatação linear: se um corpo tem comprimento inicial
e coeficiente linear , ao aumentar a temperatura em o novo comprimento é
Aqui
tem unidade
e
pode ser em kelvin ou em graus Celsius (variação é a mesma).
- Dilatação volumétrica: para um corpo isotrópico (por exemplo um cubo de vidro), o coeficiente volumétrico
relaciona o volume final ao volume inicial por
- Relação entre coeficiente linear e volumétrico para materiais isotrópicos: aproximadamente
. Intuição: um cubo expande em cada uma das três direções, então o aumento relativo do volume é soma dos aumentos nas três direções (para variações pequenas). - No nosso problema:
- Para o frasco (vidro) usaremos
. - Para o mercúrio usaremos diretamente
(interpretando o dado como coeficiente volumétrico).
- Para o frasco (vidro) usaremos
Passo 3
Definição das variáveis e equações de equilíbrio (condição de transbordamento):
- Volume inicial do frasco:
. - Volume inicial do mercúrio:
. - Após aquecimento de
: - Volume do frasco:
- Volume do mercúrio:
- Condição de transbordamento: o mercúrio atinge o volume do frasco, ou seja
Substituindo
obtemos
Cancelamos
(não é zero) e resolvemos para
.
Passo 4
Resolução algébrica passo a passo:
- Começando da igualdade:
- Expandindo e isolando os termos com
:
- Portanto
- Agora os valores numéricos:
- Para o vidro:
. - Para o mercúrio:
(valor fornecido).
- Para o vidro:
- Calculando o denominador:
- Então
(Lembre: uma variação de temperatura de
é igual a
em magnitude, então podemos somar diretamente em graus Celsius.)
Passo 5
Temperatura final e interpretação:
- Temperatura final em graus Celsius:
- Interpretação rápida: devido ao coeficiente volumétrico do mercúrio ser muito maior que o do vidro, o mercúrio cresce mais que o frasco e precisa de um aumento grande de temperatura para compensar os
de folga inicial. O resultado é uma temperatura bastante alta ( ), plausível numericamente mesmo que impraticável experimentalmente (ou seja, antes disso outros efeitos podem ocorrer, mas para o modelo de dilatação linear/volumétrica essa é a resposta).