Explique como R e S estão relacionados com (+) e (-).

Passo 1

Resumo do enunciado: querem que a gente explique “como R e S estão relacionados com (+) e (–)”.
Conteúdo da matéria: teoria de grupos abelianos (ou grupos aditivos) e subgrupos.
O que vamos precisar:
  1. Definição de grupo abeliano com a operação “+”.
  2. Critério de subgrupo (fechamento em relação a “+” e existência de inverso “–”).

Passo 2

Primeiro, o que é (R,+)?
– Dizemos que R junto com a operação “+” forma um grupo abeliano se valem estas propriedades para todo :
  1. Fechamento: .
  2. Associatividade: .
  3. Elemento neutro: existe tal que .
  4. Inverso aditivo: para cada com .
  5. Comutatividade: .

Passo 3

Agora, como S se encaixa nisso?
Se S é um subconjunto de R, dizemos que S é subgrupo de x + y in S quando, dentro de S, ainda valem as duas condições-chave:
  1. Fechamento para a soma: para todo -,x in S, deve acontecer
  2. Fechamento para o inverso aditivo: para todo , deve acontecer
(As outras propriedades de grupo – neutro, associatividade, comutatividade – já “venham de fábrica” por herança de R.)

Passo 4

O que aprendemos até aqui?
– R é o “mundo maior” onde somamos e subtraímos (adicionamos inversos).
– S é um “mundo menor” dentro de R que também funciona direitinho com essas operações se, e somente se, for fechado em relação a elas.

Resposta

R é um grupo abeliano sob a operação “+” (e seu inverso “–”).
S é um subgrupo de se, ao fazer qualquer soma ou tomar qualquer inverso com , o resultado continuar em S.

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