Explique como R e S estão relacionados com (+) e (-).
Passo 1
Resumo do enunciado: querem que a gente explique “como R e S estão relacionados com (+) e (–)”.
Conteúdo da matéria: teoria de grupos abelianos (ou grupos aditivos) e subgrupos.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: teoria de grupos abelianos (ou grupos aditivos) e subgrupos.
O que vamos precisar:
- Definição de grupo abeliano com a operação “+”.
- Critério de subgrupo (fechamento em relação a “+” e existência de inverso “–”).
Passo 2
Primeiro, o que é (R,+)?
– Dizemos que R junto com a operação “+” forma um grupo abeliano se valem estas propriedades para todo :
– Dizemos que R junto com a operação “+” forma um grupo abeliano se valem estas propriedades para todo
- Fechamento:
. - Associatividade:
. - Elemento neutro: existe
tal que . - Inverso aditivo: para cada
há com . - Comutatividade:
.
Passo 3
Agora, como S se encaixa nisso?
Se S é um subconjunto de R, dizemos que S é subgrupo de quando, dentro de S, ainda valem as duas condições-chave:
Se S é um subconjunto de R, dizemos que S é subgrupo de
- Fechamento para a soma: para todo
, deve acontecer - Fechamento para o inverso aditivo: para todo
, deve acontecer
(As outras propriedades de grupo – neutro, associatividade, comutatividade – já “venham de fábrica” por herança de R.)
Passo 4
O que aprendemos até aqui?
– R é o “mundo maior” onde somamos e subtraímos (adicionamos inversos).
– S é um “mundo menor” dentro de R que também funciona direitinho com essas operações se, e somente se, for fechado em relação a elas.
– R é o “mundo maior” onde somamos e subtraímos (adicionamos inversos).
– S é um “mundo menor” dentro de R que também funciona direitinho com essas operações se, e somente se, for fechado em relação a elas.
Resposta
R é um grupo abeliano sob a operação “+” (e seu inverso “–”).
S é um subgrupo de se, ao fazer qualquer soma
ou tomar qualquer inverso
com
, o resultado continuar em S.
S é um subgrupo de